Рассматривая амплитуды рассеяния как функции независи- мых переменных s,t,u (связанных лишь соотношением s+t+u = = /1), мы сталкиваемся с необходимостью различать физически допустимые и недопустимые области их значений. Значения, ко- торые могут отвечать физическому процессу рассеяния, должны удовлетворять определенным условиям, являющимся следстви- ями закона сохранения 4-импульса и того факта, что квадрат каждого из 4-векторов qa есть заданная величина q2 = vr?a. Произведение двух 4-импульсов PaPb > rnamb. F7.1) Поэтому (qa + qbJ = (pa + pbJ > (ma + mbJ, если qa=pa, Qb= Pb (или qa = —pa, qb = -pb), или же (qa + qbJ = (pa - pbJ ^ (raa - mbJ, если qa=pa, Qb = ~Pb- § 67 ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ 297 Отсюда следует, что для реакции в s-канале: (mi + ГП2J ^ s > (шз + ГП4J, (mi — газJ ^ t ^ (га,2 — т^J, (mi — ГП4J ^ ^ ^ (га,2 — газJ F7.2) (аналогичные неравенства — в t- и г^-каналах). Для нахождения остальных условий составим 4-вектор L, ду- альный произведению каких-либо трех из 4-векторов qai скажем Т" /Jj U P I' f}>~7 О\ J-j\ — C\ni/ рО_\ 0.2 О-*^' \ / В системе покоя одной из частиц (например, частицы 1) q1 = (gJ,O). При этом L имеет лишь пространственные компонен- ты: Li = ei0kiq^ql3. Другими сло- вами, L — пространственноподоб- ный вектор, и во всякой системе отсчета L2 ^ 0. Раскрыв квадрат L2, получим условие ^ = 0 s = 0 4 0. F7.4) >А -4-4 = 0 Рис. 5 Оно может быть выражено через инварианты «s, t, и в едином для всех каналов виде stu ^ as + Ы + си, F7.5) где ah = ( bh = (т2т2 ch = (т\т\ + — т2 — га|), тп2 F7.6) (Т. W. В. КгЪЫе, 1960). Для графического изображения областей изменения перемен- ных s, ?, и удобно пользоваться так называемыми треугольными координатами на плоскости (плоскость Мандельстама; S. Мап- delstam, 1958). Координатными осями в ней являются три пря- мые, образующие в пересечении равносторонний треугольник. Координаты «s, ?, и отсчитываются по направлениям, перпенди- кулярным этим трем прямым. (Считаем положительными нап- равления внутрь треугольника, как указано на рис. 5 стрелка- ми.) Другими словами, каждой точке плоскости отвечают зна- чения «s, ?, и, изображающиеся (с соответствующими знаками) 298 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ длинами перпендикуляров, опущенных на три оси. Выполнение условия s +1 + и = h обеспечивается при этом известной геомет- рической теоремой (если высота равностороннего треугольника равна К) х) . Рассмотрим важный случай, когда основному (s) каналу от- вечает упругое рассеяние; при этом массы частиц попарно оди- наковы: mi = 7713 = т, т2 Пусть 777 > \i. В условии F7.5) имеем h = 2(ra2+/i2), a = c = 0, F7.7) 6=(ra2-/i 2J так что sut (m2 - /i2Jt. F7.8) Граница области, определяемой этим неравенством, состоит из прямой t = 0 и гиперболы 5гб= (ш2_^2J, F7.9) две ветви которой лежат в секторах и < 0, 5 < 0 и 5 > О, и > 0; оси «s = 0 и гл = 0 являются асимптотами гиперболы. Вместо F7.8) можно написать s = 0 - - t=4m2 t > 0, su> (ra2 - ,2\2 или t < 0, su< (ra2 -/i2J. Кроме того, из условий F7.2) надо дополнительно учесть неравенство s > (ra + /iJ в s-ка- нале л и > (га + /iJ в г^-канале; остальные неравенства удовле- творяются после этого автома- тически. В результате найдем, что каналам I, II, III («s, ?, и) отвечают, как говорят, физиче- ские области, изображенные на рис. 6 штриховкой. Если \i = 0 (частицы 2, 4 — фотоны), то нижняя ветвь ги- перболы касается оси t = 0 и физические области выглядят, как показано на рис. 7. Соединив, например, точку Р (рис. 5) с тремя вершинами треугольника ABC, мы разобьем его на три треугольника с высотами s, t, щ приравняв сумму их площадей площади треугольника ABC, найдем требуемое равен- ство. Аналогичным образом оно доказывается и в случае, когда точка Р лежит вне треугольника ABC. § 67 ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ 299 Если же т = /i, то границы области F7.8) вырождаются в ко- ординатные оси и физическими областями являются показанные на рис. 8 три сектора. '-- t = 4m2 t = 0 Рис. 7 Рис. 8 В общем случае четырех различных масс уравнение stu = as + Ы + си F7.10) определяет кривую третьего порядка, ветви которой ограничи- с> 0 с< 0 Рис. 9 вают физические области трех каналов, как показано на рис. 9. Пусть Тогда а^ Ь^ с, а > 0, 6 > 0. Кривая F7.10) пересекает координатные оси в точках, лежащих на прямой as + Ы + си = 0 (см. штриховые линии на рис. 9). В зависимости от знака с она проходит, как показано на рис. 9. При с < 0 физическая область 300 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ г^-канала захватывает часть площади координатного треугольни- ка; другими словами, в этом случае величины «s, ?, и могут быть одновременно положительными. Все три ветви граничной кри- вой имеют в качестве асимптот соответствующие координатные оси (в этом легко убедиться, исключив из уравнения F7.10) одну из переменных с помощью соотношения s -\-t + u = h n устремив затем одну из оставшихся переменных к бесконечности). Условия F7.2) не вносят в общем случае ничего нового по сравнению с границами, устанавливаемыми уравнением F7.10). Прямые ли- нии, соответствующие знакам равенства в F7.2), не пересекают заштрихованных на рис. 9 физических областей; некоторые из них касаются границ этих областей, отвечая экстремальным зна- чениям переменных «s, t или и в соответствующем канале. В случае, когда масса одной из частиц больше суммы масс трех остальных (mi > rri2 + шз + т±), наряду с каналами I, II, III возможен еще четвертый канал реакции, отвечающий распаду: IV. 1 ^2 + 3 + 4, F7.11) Для этого канала в системе покоя распадающейся частицы ?2 + ?3 + ?4 = mi, Р2 + РЗ + Р4 = 0. Инварианты: s = ml + ттт! ~~ 2mi?2, t = m\+ml- 2mi?3, F7.12) U = 777^ + 777^ — 2t77i?4- Из F7.1) получим теперь: (ш3 + m4J ^ s ^ (mi - m2J, (m2 + m4J ^K(mi- m3J, F7.13) (Ш2 + ШзJ ^ U ^ (mi — 7T74J. Таким образом, все три инварианта положительны, т. е. физи- ческая область канала распада находится внутри координатного треугольника.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Физические области» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Соединив, например, точку Р (рис. 5) с тремя вершинами треугольника 