В этом параграфе мы покажем на простых примерах, каким образом учитывается при вычислении сечения рассеяния поля- ризационное состояние участвующих в реакции частиц. Пусть в начальном и в конечном состояниях имеется по од- ному электрону. Тогда амплитуда рассеяния имеет вид Mfi = п'Аи(= u^AikUk), F5.1) где и ж и1 — биспинорные амплитуды начального и конечного электронов, А — некоторая матрица (зависящая от импульсов и поляризаций остальных участвующих в реакции частиц, если та- ковые имеются). Сечение рассеяния пропорционально |М^|2. Имеем (пАи)* = и'-у0* А* и* = ьГА+^+и', или (п'Аи)* = пАи1, F5.2) где х) Таким образом, \Mfi\2 = (п'Аи)(пАиг) = \1(п!кАыщпшАшг. F5.3) Если начальный электрон находился в смешанном (частично поляризованном) состоянии с матрицей плотности р и если нас интересует сечение процесса с образованием конечного электро- на в определенном наперед заданном поляризационном состоя- нии //, то надо заменить произведения компонент биспинорных амплитуд щп'к ->> p'ik, щпт ->> pim. Тогда \Mfi\2 = Sp(pApA). F5.4) Матрицы плотности р и р' даются формулой B9.13) 1 5 F5.5) р (и аналогично для /У). Если начальный электрон не поляризован, то Р= \<ЛР + ™)- F5-6) 1) В связи с необходимостью образовывать матрицу А отметим для буду- щего следующие легко проверяемые равенства: ^ = 7м, TY • • • 7Р = Y • • • 7V, 75 = -75, TV = 7V- F5.2а) § 65 РЕАКЦИИ С ПОЛЯРИЗОВАННЫМИ ЧАСТИЦАМИ 291 Подстановка этого выражения эквивалентна усреднению по по- ляризациям электрона. Если требуется определить сечение рас- сеяния с произвольной поляризацией конечного электрона, то на- до положить также р1 = (jp +ra)/2 и удвоить результат; эта опе- рация эквивалентна суммированию по поляризациям электрона. Таким образом, получим \ S {Ы + т)А{1Р + тI}, F5.7) поляр где Х^поляр означает суммирование по начальным и конечным по- ляризациям, а множитель 1/2 превращает одно из суммирований в усреднение. Матрица плотности р1 в F5.4) —вспомогательное понятие, ха- рактеризующее, по существу, свойства детектора (выделяющего ту или иную поляризацию конечного электрона), а не процес- са рассеяния как такового. Возникает вопрос о поляризацион- ном состоянии электрона, в которое он приводится процессом рассеяния самим по себе. Если р(*' — матрица плотности этого состояния, то вероятность детектирования электрона в состоя- нии р1 получится проецированием р(*> на /У, т. е. образованием следа Sp(p^)p'). Этой же величине будет пропорционально соот- ветствующее сечение, т. е. квадрат |М^|2. Сравнив с F5.4), мы делаем вывод, что pW ~ ApA. F5.8) Поскольку заранее известно, что р^ должно иметь вид F5.5) с некоторым 4-вектором ал*\ дело сводится к определению по- следнего. Это можно было бы сделать по формуле B9.14), но еще проще поступить, как будет указано ниже. Мы видели в § 29, что компоненты 4-вектора а выражаются через компоненты 3-вектора ? — среднего (удвоенного) значения спина электрона в его системе покоя. Поляризационные состоя- ния электронов полностью определяются этими векторами, и це- лесообразно выражать через них также и сечение рассеяния. Очевидно, что квадрат |М^|2 будет линеен по каждому из век- торов ? и ?7, относящихся к начальному и конечному электронам. Как функция от ?7 он будет иметь вид \Mfi\2 = a + 0C', F5-9) где а и /3 сами — линейные функции ?. Вектор ?7 в F5.9)—заданная поляризация конечного элект- рона, выделяемая детектором. Вектор же С \ отвечающий ма- трице плотности р^\ легко найти следующим образом. Согласно сказанному выше ю* 292 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ Ввиду релятивистской инвариантности этой величины можно вычислять ее в любой системе отсчета. В системе покоя конеч- ного электрона имеем согласно B9.20) Поэтому и, сравнив с F5.9), находим, что ?(/) =р/а. F5.10) Таким образом, вычислив сечение как функцию параметра ?', мы тем самым определим и поляризацию С . В более сложных случаях (более чем по одному начальному или конечному электрону) вычисления производятся аналогич- ным образом по изложенной схеме. Так, если в начале и конце имеется по два электрона, ампли- туда рассеяния приобретает вид где и\, и2— биспинорные амплитуды начальных, а г^, и2— ко- нечных электронов. При образовании квадрата |М^|2 появятся члены вида и вида Первые приводятся к произведениям двух следов вида F5.4), а вторые — к следам вида Sp (p'1Ap1Cp'2Bp2D). Позитроны описываются амплитудами «отрицательной ча- стоты» и(—р). Для реакций с участием позитронов отличие от из- ложенного выше сводится к тому, что в качестве матриц плотно- сти надо пользоваться выражениями, отличающимися от F5.5), F5.6) лишь изменением знака перед m (ср. B9.16), B9.17)). Обратимся к поляризационным состояниям участвующих в реакции фотонов. Поляризация каждого начального фотона входит в амплиту- ду рассеяния линейно в виде 4-вектора е, а каждого конечного фотона —в виде е*. В обоих случаях в сечение (т. е. квадрат \М%\ входит 4-тензор е^е*. Для перехода к случаю произволь- ного частично поляризованного состояния этот тензор должен § 66 КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 293 быть заменен четырехмерной матрицей плотности — 4-тензором е^е* ->> р^у. F5.11) В частности, для неполяризованного фотона, согласно (8.15), /V = -g^/2- F5.12) Таким образом, усреднение по поляризациям фотона сводится к тензорному свертыванию в |М^|2 по соответствующим двум тензорным индексам \iv х) . Если требуется произвести не усреднение, а суммирование по поляризациям фотона, то надо заменить е^е* вдвое большим выражением: е^е* -> -g^. F5.13) Матрица плотности поляризованного фотона дается форму- лой (8.17). Выбор 4-векторов е^1), е^ фигурирующих в этом вы- ражении, диктуется обычно конкретными условиями задачи. В одних случаях эти векторы могут быть связаны с определенными пространственными направлениями в некоторой системе отсче- та. В других случаях более удобно связывать их с фигурирую- щими в условиях задачи характерными 4-векторами — 4-импуль- сами частиц. В (8.17) поляризация фотона описывается параметрами Сток- са, составляющими «вектор» ? = (?ь?25?з)- Как и для электро- на, необходимо отличать поляризацию ?'*' конечного фотона как такового от поляризации ?7, выделяемой детектором. Если изве- стен квадрат амплитуды рассеяния как функция параметра ?7: то поляризация ?^ = /3/а, что аналогично формуле F5.10).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Реакции с поляризованными частицами» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
