Угловое распределение фотонов получится суммированием по всем поляризациям фотона и вто- ричного ядра. Усреднение по поляризациям осуществляется под- становкой матриц плотности неполяризованных состояний: (A|pW|A'> = 16хх,, {Mf\pW\M'f) = -J—SMfM,f, D8.6) после чего суммирование сводится к умножению на 2 (для фото- на) или на 2Jf + 1 (для ядра). Другими словами, суммирование осуществляется просто заменой W ^ 6MfM,. D8.7) 206 ИЗЛУЧЕНИЕ ГЛ. V Таким образом, угловое распределение L (m) C j L\( j j L \ / Jf j Ji\ x U A 0){m m' pL ) {M m MJ x C j L\( j j L \ / Jf U -A 0){m -m' -pL ) {-M f j -m' -pL ) {-Mf -m MJ Эту формулу можно существенно упростить, произведя сум- мирования по т-индексам. Прежде всего замечаем, что 5 S и потому сумма (J J Ll = / 2 (i -1 о) при четных L^ ^^ \А —А 0у I гл г A=±i I, U при нечетных L. Таким образом, в сумме по L остаются лишь члены с четными L, т. е. в нее входят шаровые функции (Dq ') лишь четных поряд- ков. Этот результат можно было предвидеть: в силу сохранения четности вероятность должна быть инвариантна по отношению к инверсии, т. е. к замене п —>• —п. Таким образом, L 3 3 х х lyL) [т -т' -ц) \-Mf (го) L \( Jf j J%\ ' -ц) \-Mf -га MJ -га' Отметим, что здесь легко проверить нормировку: в силу фор- мулы после интегрирования по направлениям остается лишь член с L = \i = 0; с помощью формул C 3 \т —т 2 убедимся, что интеграл равен 1. § 48 УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 207 Дальнейшее суммирование по mm!Mf во внутренней сумме в w(n) производится с помощью формулы A08.4) (см. III). В результате получим для углового распределения фотонов следу- ющую окончательную формулу: п>(п) = (_1) 4тг j j где обозначено -1 o)\ >« ^S*=(-1)L"^l^- D8-10) Внутренняя сумма в D8.9) берется по всем \\i\ ^ L, а внешняя — по всем четным значениям L, удовлетворяющим условиям L ^ 2j, L ^ 2Ji D8.11) (эти условия — следствие правила треугольника, которому дол- жны удовлетворять j-индексы в З^'-символах, фигурирующих в D8.9), D8.10)). В силу этих условий число членов в сумме обычно невелико. Так, при Ji = 0 или 1/2 остается лишь член с L = 0, т. е. излучение изотропно (легко убедиться в том, что член с L = 0 равен !/4, как и должно было быть по условию нормировки). При Ji = 1, 3/2 или при j = 1 в сумме по L остается два члена: L = 0, 2. Отметим также, что если матрица плотности pW диагональна (Mi = Мг7), то \i = 0, и функция распределения D8.9) принима- ет вид разложения по полиномам Лежандра (согласно A6.5) и E8.23) (см. III) функции Dqo сводятся к функциям P^(cos^)). Наконец, если (Mi|pW|M/> = l/BJi + l)JM.M/, т. е. начальное ядро не поляризовано, то все VL = 0, кроме 7 оо — -1- ) • Действительно, заметив, что J О J -М' О имеем J L ( Е/ -,\J-m' ( J L мм>^~1) \-М' р М)°мм' = /о т I 1 V ^ J L L\( J 0 J после чего из определения D8.10) найдем указанный результат. 208 ИЗЛУЧЕНИЕ ГЛ. V Величины Vbfi — удобные характеристики поляризационно- го состояния ядра; назовем их поляризационными моментами. Формула D8.10) определяет эти величины через матрицу плот- ности рмм'- Прямой проверкой легко убедиться в справедли- вости обратной формулы, выражающей эту матрицу через поля- ризационные моменты: V^ 2L + 1.-L, i\j-M' ( J M Пусть /l^ — некоторый сферический тензор, зависящий от поляризационного состояния ядра. Согласно общим правилам (см. III, A4.8)) его среднее значение в состоянии с матрицей плот- ности рмм1 равно 7ьЙ = Е PMM>(JM'\fLfl\JM). D8.13) ММ' Выразив матричные элементы величин /^ через приведенный элемент (J\\fb\\J) согласно {JM'\fL»\JM)=iL(-l)J-M'(_JMl L ^j(J\\fL\\J)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Угловое распределение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Действительно, заметив, что 