Переход к квазиклассическому приближению в уравнении Дирака производится так же, как и в нерелятивистской теории. В уравнение второго порядка C2.7а) подставляем ф в виде ф = ueiS/n, где S — скаляр, и — медленно меняющийся биспинор. При этом предполагается выполненным обычное условие квазиклассично- сти: импульс частицы должен мало меняться на расстояниях по- рядка длины волны й/|р|. В нулевом приближении по Н получается обычное класси- ческое релятивистское уравнение Гамильтона—Якоби для дей- ствия S. При этом все члены, содержащие спин (и пропорци- ональные Н), выпадают из уравнений движения. Спин появил- ся бы лишь в следующем приближении по Н. Другими словами, ) Пользуемся сначала обычными единицами. § 41 ДВИЖЕНИЕ СПИНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 179 влияние магнитного момента электрона на его движение — все- гда того же порядка величины, что и квантовые поправки. Это вполне естественно ввиду чисто квантовой природы спинового момента, который пропорционален Н. В связи с такой ситуацией приобретает смысл постановка за- дачи о поведении спина электрона, совершающего заданное ква- зиклассическое движение во внешнем поле. Решение этой задачи содержится в следующем приближении по Н в уравнении Дирака. Мы применим, однако, другой способ, более наглядный и не свя- занный непосредственно с уравнением Дирака. Он обладает тем преимуществом, что позволяет рассматривать движение любой частицы, в том числе обладающей «аномальным» гиромагнит- ным отношением, не описываемым уравнением Дирака. Наша цель состоит в установлении «уравнения движения» для спина при произвольном (заданном) движении частицы. Начнем с нерелятивистского случая. Нерелятивистский гамильтониан частицы во внешнем поле Н = Н' - /icrH, D1.1) где в Н' включены все члены, не содержащие спина (см. III, § 111); /i — магнитный момент частицы. Этот вид гамильтониана не связан с определенным сортом частиц. Для электронов \i = = еН/2тс (заряд электрона е = — |е|!), а у нуклонов \i содержит еще и «аномальную» часть х) /i/ = /i-_^. D1.2) 2тс У J Согласно общим правилам квантовой механики операторное уравнение движения спина получается из формулы 1 ( Подставив сюда D1.1), найдем или 1 = f[sH]. D1.4) Усредним это операторное равенство по состоянию квази- классического волнового пакета, движущегося вдоль заданной траектории. Эта операция сводится к замене оператора спина его *) С учетом радиационных поправок очень малая «аномальная часть» со- держится также и в магнитном моменте электрона. 180 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ ГЛ. IV средним значением s, а вектора Н —функцией Н(?), представ- ляющей собой изменение магнитного поля в точке нахождения частицы (волнового пакета) при ее заданном движении вдоль траектории. В нерелятивистском приближении, т. е. в рамках уравнения Паули, 1з = с/2 есть оператор спина частицы в ее си- стеме покоя, среднее значение которого мы обозначили в § 29 как С/2. Таким образом, мы приходим к уравнению * = В таком виде это уравнение имеет, по существу, чисто класси- ческий характер. Оно означает, что вектор магнитного момен- та прецессирует вокруг направления поля с угловой скоростью —2/iH/ft, оставаясь неизменным по величине . В том же нерелятивистском случае скорость v частицы ме- няется согласно уравнению dt тс т. е. вектор v вращается вокруг направления Н с угловой ско- ростью —еН/тс. Если // = 0, то \i = e/i/2mc, и эта угловая ско- рость совпадает со скоростью —2/iH//i вращения вектора С; ДРУ- гими словами, вектор поляризации сохраняет постоянный угол с направлением движения (мы увидим ниже, что этот результат остается в силе и в релятивистском случае). Произведем теперь релятивистское обобщение уравнения D1.5). Для ковариантного описания поляризации надо при этом пользоваться введенным в § 29 4-вектором а, а уравнение движе- ния спина должно определять производную da/dr по собствен- ному времени г 2) . Возможный вид этого уравнения может быть установлен уже из соображений релятивистской инвариантности, если учесть, что его правая часть должна быть линейна и однородна по тен- зору электромагнитного поля F^ и по 4-вектору а^, а, помимо них, может содержать только 4-скорость и^ = р^/т. Этим усло- виям удовлетворяет лишь уравнение вида aFav + №Fuvax, D1.6) dr ) Классически уравнение D1.5) получается непосредственно из равенства dM/dt = [/Ш], где М — момент импульса системы, /л — ее магнитный момент, [/хН]—дей- ствующий на систему момент сил. Положив М= |^С? М= 27 С = мС полу- чим D1.5). 2) Ниже снова полагаем с = 1, h = 1. § 41 ДВИЖЕНИЕ СПИНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 181 где а, /3 — постоянные коэффициенты. Легко видеть, что в си- лу условия а^и^ = 0 и антисимметричности тензора F^v (так что F^u^Uy = 0) никаких других выражений требуемого вида составить нельзя. При v —>• 0 это уравнение должно совпадать с D1.5). Положив а^ = @, С), и» = A, 0), т = ?, получим Сравнив с D1.5), найдем: а = 2/i. Для определения /3 учтем, что оУи^ = 0. Продифференциро- вав это равенство по т и воспользовавшись классическим урав- нением движения заряда в поле dr (см. II, § 23), получим da^ du^ e трци е dr dr m m Поэтому, умножив уравнение D1.6) с обеих сторон на и^ учтя равенство и^иУ1 = 1 и сократив общий множитель F^u^a^ по- лучим Таким образом, находим окончательно релятивистское урав- нение движения спина — = 2/jF^ay - 2n'u^FyXUyax D1.7) dr (V. Bargmann, L. Michel, V. Telegdi, 1959) . Перейдем от 4-вектора а к величине ?, непосредственно ха- рактеризующей поляризацию частицы в ее «мгновенной» систе- ме покоя; связь между а и ? дается формулами B9.7)—B9.9). Сразу же отметим, что из D1.7) автоматически следует, что a^da^/dr = 0, т. е. а^оУ = const. Поскольку а^оУ = —С2, это означает естественный результат: при движении частицы ее по- ляризация ? остается неизменной по величине. Уравнение, определяющее изменение направления поляриза- ции, получим, перейдя в D1.7) к трехмерным обозначениям. Рас- :)В другом виде подобное уравнение было впервые найдено Я. И. Френ- келем A926). 182 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ ГЛ. крыв пространственные компоненты этого уравнения, найдем da. аН + -*— (av)E — -*—v(aE) J e V } m V J аН + (av)E dt e L J e V } m ([]) ( m m Сюда надо подставить B9.9), учитывая при дифференцировании равенства р = ?v, е2 = р2 + тп2 и уравнения движения ^ | = e(vE). D1.8) Элементарное, хотя и довольно длинное вычисление приводит к следующему уравнению х) : D1.9) Особый интерес представляет не столько изменение абсолют- ного направления поляризации в пространстве, сколько его из- менение по отношению к направлению движения. Представим ? в виде С = пСц + С± D1.10) (где n = v/v) и выпишем уравнение для проекции ?ц поляри- зации на направление движения. Вычисление с помощью D1.8), D1.9) приводит к следующему результату 2) : dt _ А (С±Е). D1.11) / Ряд примеров применения полученных уравнений рассмотрен в задачах к этому параграфу. Здесь же отметим лишь, что при движении в чисто магнитном поле поляризация частицы без ано- мального магнитного момента сохраняет постоянный угол со ско- ростью (?ц = const). Таким образом, этот результат, указанный Если ввести, как это часто делается, для заряженных частиц гиромаг- нитный коэффициент (множитель Ланде) g согласно fi = g ^ • \ (= g -^Z f)' то уравнение запишется в виде § = -1- (g - 2 + 2^) [СН] + -5-(g - 2)-J-(vH)[vC] + dt 2m \ e J 2m e + m s + m ) Несколько короче это уравнение можно получить, раскрывая временную компоненту уравнения D1.7). § 41 ДВИЖЕНИЕ СПИНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 183 уже выше для нерелятивистского случая, действительно, имеет общий характер. Уточним условия применимости полученных уравнений. Упо- мянутое вначале требование достаточно медленного изменения импульса частицы сводится к определенному условию малости полей Е и Н; в частности, ларморов радиус в магнитном поле (~ р/еН) должен быть велик по сравнению с длиной волны ча- стицы. Помимо этого, однако, должно выполняться, строго го- воря, еще и условие не слишком быстрого изменения полей в пространстве: поле должно мало меняться на размерах квази- классического волнового пакета. Тем самым, поле должно мало меняться на расстояниях порядка длины волны частицы A/р), а также на комптоновской длине волны, 1/га г) . Впрочем, в практических задачах о движении в макроскопи- ческих полях условие медленности их изменения заведомо вы- полняется, так что фактически требуется лишь достаточная их малость. В § 33 были найдены первые релятивистские поправки для гамильтониана электрона, движущегося во внешнем поле. Для электрона в электрическом поле приближенный гамильтониан имеет вид (см. C3.12)) Н = Й'--?-(а\вЦ), p = -tV, D1.12) Am \ L тл / где в Н1 включены члены, не содержащие спина. В нашем случае в силу медленного изменения поля в Н' следует пренебречь чле- ном с производными от Е (т. е. с divE); можно опустить также малый член с р4, не имеющий отношения к интересующим нас здесь эффектам поля, так что Н1 (в отсутствие магнитного поля) сводится к нерелятивистскому гамильтониану Н' = р2/Bт) + + еФ. Формулу D1.12) можно получить также исходя из уравне- ния D1.9), не прибегая непосредственно к уравнению Дирака. Тем самым будет достигнуто ее обобщение (в квазиклассическом случае) для частиц с аномальным магнитным моментом. С точностью до членов первого порядка по скорости v урав- нение движения спина в электрическом поле получается из г) Последнее требование возникает из условия, чтобы разброс скоростей в волновом пакете в его системе покоя был мал по сравнению с с; в против- ном случае в этой системе нельзя было бы пользоваться нерелятивистскими формулами. Если поле меняется слишком быстро, в уравнениях могут оказаться суще- ственными дополнительные члены, содержащие производные поля по коор- динатам. 184 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ D1.9) в виде f = (M + Если потребовать, чтобы это уравнение получалось квантовоме- ханически путем коммутирования оператора спина с гамильто- нианом (согласно D1.3)), то, как легко проверить, надо положить й¦=»' = (<•'+?) ИЕЭ) ¦ <«-и> Это и есть искомое выражение. При // = 0 мы возвращаемся к D1.12). Обратим внимание на то, что «нормальный» магнитный момент е/2т входит с лишним множителем lfe по сравнению с аномальным моментом 1л'1).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Движение спина во внешнем поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
