Определим релятивистские поправки к уровням энергии ато- ма водорода — электрона в кулоновом поле неподвижного яд- ра . Скорость электрона в атоме водорода v/c ~ a <C 1. По- этому искомые поправки можно вычислить путем применения теории возмущений — как среднее по невозмущенному состоянию (т. е. по нерелятивистской волновой функции) от релятивистских членов в приближенном гамильтониане C3.12). Для несколько большей общности положим заряд ядра равным Ze, предпола- гая при этом, однако, что и Za <С 1. Напряженность поля ядра Е = Zer/r3, а его потенциал удов- летворяет уравнению АФ = —47rZe5®. Подставив это в C3.12) (последние три члена), с учетом отрицательности заряда элек- трона получим оператор возмущения V = --^- + -^-Ts + —6(г). C4.1) 8ш3 2r3m2 2m2 W V J Поскольку согласно нерелятивистскому уравнению Шредин- гера р2ф = 2ш ( ) (во = —mZ2a2/2n2 —невозмущенный уровень, п — главное кван- товое число), среднее значение Эта величина, как и среднее значение второго члена в C4.1), вычисляется с помощью формул (см. III, § 36) т maZ 9 (maZJ q (maZ)s /o. оч r-l _ —_^ r-2 — _A 1—? r-6 — _—v 1 C4.2) (последняя относится к / ф 0); собственное значение Is = \ 2 [ о, i = o. Наконец, усреднение третьего члена производится с помощью формул Г 1 (ZamV2 , п C4.3) 1) Влияние движения ядра на значения этих поправок представляет собой эффект более высокого порядка малости, которым мы здесь не интересуем- ся. § 34 ТОНКАЯ СТРУКТУРА УРОВНЕЙ АТОМА ВОДОРОДА 153 Результат простого вычисления с использованием написан- ных формул может быть представлен во всех случаях (при всех j и I) в виде As = -™?*? (-L. - ±) . C4.4) 2n3 Vj + 1/2 4n/ V J Формула C4.4) и дает искомую релятивистскую поправку к энергии водородных уровней — энергию тонкой структуры х) . Напомним, что в нерелятивистской теории имеет место как вы- рождение по направлениям спина, так и кулоново вырождение по /. Тонкая структура (спин-орбитальное взаимодействие) сни- мает это вырождение, но не полностью,— остаются двукратно взаимно вырожденными уровни с одинаковыми n, j, но разны- ми I = j ± Y2 (невырожденными оказываются при этом лишь уровни с наибольшим возможным при заданном п значением j = = Jmax = ^max+ У2 = n — lJ2). Таким образом, последовательность водородных уровней с учетом тонкой структуры такова: Уровень с главным квантовым числом п расщепляется на п ком- понент тонкой структуры. Напомним, что в нерелятивистской механике «случайное» вырождение уровней энергии в кулоновом поле связано с суще- ствованием специфического для этого поля закона сохранения: сохраняется величина А, оператор которой (см. III, C6.30)). Со специфическим законом сохранения связано и остающееся в релятивистском случае двукратное вырождение: гамильтониан уравнения Дирака Н = ар + /Зт — е2 /г коммута- тивен с оператором Т = ?е + -!-/3(Sl + 1)т5(Я - т/3) г та (М. Н. Johnson, В. А. Ырртапп, 1950). В нерелятивистском пре- деле этот оператор / —>> SA. Эта формула (как и более точная формула C6.10)) была получена Зом- мерфельдом (A. Sommerfeld) из старой теории Бора еще до создания кван- товой механики. 154 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ ГЛ. IV Мы увидим в дальнейшем (§ 123), что это оставшееся вы- рождение снимается так называемыми радиационными поправ- ками (лэмбовский сдвиг), не учитываемыми уравнением Дирака одноэлектронной задачи. Забегая вперед, укажем уже здесь, что по порядку величины эти поправки ~ mZ^a5 ln(l/a). Поправка же второго порядка по спин-орбитальному взаимодействию была бы ~ m(ZaN1 так что ее отношение к радиационным поправкам ~ Z2a/1пA/а). Для водорода (Z = 1) это отношение заведомо мало, и потому задача о точном решении уравнения Дирака в этом случае не имеет смысла. Эта задача, однако, может иметь смысл для уровней энергии электрона в поле ядра с большим Z (см. § 36).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Тонкая структура уровней атома водорода» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Скорость электрона в атоме водорода v/c ~ a <C 1. По- 