Волновые уравнения свободных частиц по существу выража- ют собой лишь те свойства, которые связаны с общими требо- ваниями пространственно-временной симметрии. Происходящие же с частицами физические процессы зависят от свойств их вза- имодействий. Описание электромагнитных взаимодействий частиц в реля- тивистской квантовой теории оказывается возможным путем об- общения способа, применяемого для этой цели в классической и нерелятивистской квантовой теориях. Этот метод, однако, применим для описания электромагнит- ных взаимодействий лишь частиц, не способных к сильным вза- имодействиям. Сюда относятся электроны (и позитроны) и, та- ким образом, для существующей теории оказывается доступной вся огромная область квантовой электродинамики электронов. Не способны к сильным взаимодействиям также и нестабильные частицы — мюоны; они описываются той же квантовой электро- динамикой в области явлений, происходящих за времена, малые по сравнению с продолжительностью их жизни (связанной со слабыми взаимодействиями). В этой главе мы рассмотрим круг задач квантовой электроди- намики, ограниченный рамками теории одной частицы. Это — за- дачи, в которых число частиц не меняется, а взаимодействие мо- жет быть введено при помощи понятия внешнего электромагнит- ного поля. Помимо условий, позволяющих рассматривать внеш- нее поле как заданное, пределы применимости такой теории огра- ничены также условиями, связанными с так называемыми ради- ационными поправками. Волновое уравнение электрона в заданном внешнем поле можно получить так же, как это делается в нерелятивистской теории (см. III, § 111). Пусть А^ = (Ф, А) —4-потенциал внешне- го электромагнитного поля (А — векторный, Ф — скалярный по- тенциалы). Мы получим искомое уравнение, заменив в уравне- нии Дирака оператор 4-импульса р разностью р — еА, где е — 144 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ ГЛ. IV заряд частицы : [j(p-eA) -т]ф = 0. C2.1) Соответствующий этому уравнению гамильтониан получается путем такой же замены из B1.13): Н = а(р - еА) + (Зт + еФ. C2.2) Инвариантность уравнения Дирака при калибровочном пре- образовании потенциалов электромагнитного поля выражается в том, что его вид остается неизменным, если одновременно с преобразованием А —>> А + грх (где х ~ произвольная функция) преобразовать волновую функцию согласно 2) ф -> фе1ех C2.3) (ср. аналогичное преобразование для уравнения Шредингера в т. III, § 111). Плотность тока, выраженная через волновую функцию, дает- ся той же формулой B1.11) j = ф'уф, что и в отсутствие внешнего поля. Легко видеть, что при повторении с уравнением C2.1) (и написанным ниже уравнением C2.4)) тех же выкладок, которые были произведены при выводе B1.11), внешнее поле выпадает, и уравнение непрерывности оказывается справедливым для преж- него выражения тока. Произведем над уравнением C2.1) операцию зарядового со- пряжения. Для этого пишем уравнение еА)+т] = 0, C2.4) которое получается комплексным сопряжением из C2.1) так же, как было получено в свое время уравнение B1.9) (при этом надо помнить, что 4-вектор А веществен). Переписав это уравнение в виде [j(p + eA) +т]ф = 0, умножив его слева на матрицу Uc и воспользовавшись соотно- шениями B6.3), найдем [7(р + еА) - т](Сф) = 0. C2.5) Таким образом, зарядово-сопряженная волновая функция удовлетворяет уравнению, отличающемуся от исходного измене- Подразумевается заряд вместе со своим знаком, так что для электрона е = — \е 2 ) Преобразование C2.3) с функцией х(?,г) иногда называют «локальным калибровочным преобразованием» в отличие от «глобального калибровоч- ного преобразования» A2.10) с постоянной фазой а. § 32 УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 145 нием знака заряда. С другой стороны, операция зарядового со- пряжения означает переход от частиц к античастицам. Мы ви- дим, что если частицы обладают электрическим зарядом, то зна- ки заряда электрона и позитрона автоматически оказываются противоположными. Уравнение первого порядка C2.1) может быть преобразовано в уравнение второго порядка путем применения к C2.1) опера- тора ^(р — еЛ) + га: [T'VG^ - еА»)(р„ - еАу) - т2]ф = 0. Произведение 7^7^ заменяем на уу = 1(уу + уу*) + I(yy _ Y^) = gT + а»\ где a^v— антисимметричный «матричный 4-тензор» B8.2). При умножении на a^v можно произвести антисимметризацию, т. е. заменить (р^ - еА^)(рр - еАр) -+ -{(р^ - еА^)(рр - еАр)}_ = z = -Ле(дуА^ - д^Ар) = —F^ {F^y = д^Ау — дуА^ — тензор электромагнитного поля). В резуль- тате получим уравнение второго порядка в виде Up- eAf - т2 - ^-ei^aH ф = 0. C2.6) Произведение F^va^v можно записать в трехмерном виде, вы- разив его через компоненты а»" = (a,iS), F^ = (-Е,Н). Тогда [(р - еАJ - т2 + еЕН - геаЩф = 0, C2.7) или, в обычных единицах, cdt с + — SH - i—<хЕ\ф = 0. C2.7а) с с Появление в этих уравнениях членов, содержащих поля Е и Н, связано с наличием у частицы спина; мы вернемся к их обсужде- нию в следующем параграфе. Среди решений уравнения второго порядка имеются, конеч- но, также и «лишние», не удовлетворяющие исходному уравне- нию первого порядка C2.1) (они представляют собой решения 146 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ ГЛ. IV уравнения C2.1) с измененным знаком перед га). Отбор нужных решений в конкретных случаях обычно очевиден и не представ- ляет труда. Регулярный метод отбора состоит в том, что если ср есть произвольное решение уравнения второго порядка, то реше- ние правильного уравнения первого порядка есть ф = [j(p- eA) + т](р. C2.8) Действительно, умножая это равенство на j(p — eA) — га, мы ви- дим, что правая часть обращается в нуль, если (р удовлетворяет уравнению C2.6). Следует подчеркнуть, что способ введения внешнего поля в релятивистское волновое уравнение путем замены р на р — еА не самоочевиден. В его проведении мы по существу опирались на дополнительный принцип: указанная замена должна произво- диться в уравнениях первого порядка. Именно в результате этого в уравнении C2.6) появились дополнительные члены, которые не возникли бы, если бы замена была произведена непосредственно в уравнении второго порядка. Среди стационарных решений уравнения Дирака во внеш- нем поле могут иметься состояния как непрерывного, так и дис- кретного спектра. Как и в нерелятивистской теории, состояния непрерывного спектра соответствуют инфинитному движению, при котором частица может находиться на бесконечности, где ее можно рассматривать как свободную. Поскольку собственные значения гамильтониана свободной частицы равны ±л/р2 + га2, ясно, что непрерывный спектр собственных значений энергии ле- жит при е ^ га и при е ^ —га. Если же — га < е < га, то частица не может находиться на бесконечности, так что движение фи- нитно и состояние принадлежит дискретному спектру. Как и для свободных частиц, волновые функции с «положи- тельной частотой» (е > 0) и с «отрицательной частотой» (е < 0), определенным образом входят в схему вторичного квантования. Для частиц во внешнем поле эта схема естественно обобщается путем замены плоских волн в формулах B5.1) соответственно нормированными собственными функциями уравнения Дирака фп и фп , относящимися к положительным (вп ) и отрица- тельным (—e)i ) частотам: ф = ^{«n</4+) exp(-«4+)*) - П -( л -<_) C2-9) Ф = Y,&n Фп D+)) i ] D))} При этом надо иметь в виду, что по мере углубления потенци- альной ямы уровни энергии могут перейти границу е = 0, т. е. из § 33 УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 147 положительных сделаться отрицательными (или, для потенциа- ла другого знака, из отрицательных — положительными). Тем не менее из соображений непрерывности надо продолжать считать эти уровни электронными (а не позитронными). Другими слова- ми, к электронным следует относить все состояния, которые при бесконечно медленном выключении поля примыкают к положи- тельной границе непрерывного спектра (е = га). Хотя уравнение Дирака для электрона во внешнем поле и да- ет возможность, как уже было сказано, решать широкий круг за- дач квантовой электродинамики, необходимо в то же время под- черкнуть, что применимость понятия внешнего поля в рамках одночастичной задачи в релятивистской теории все же ограниче- на. Эта ограниченность связана с самопроизвольным рождением электрон-позитронных пар, возникающим в достаточно сильных полях (см. ниже, § 35, 36). Мы не будем рассматривать в этой книге вопрос о введении внешнего поля в волновые уравнения частиц с отличным от 1/2 спином, поскольку он не имеет прямого физического смысла — реальные частицы с такими спинами являются адронами и их электромагнитные взаимодействия не могут быть описаны вол- новыми уравнениями. В этой связи следует отметить, что эти уравнения могут приводить и к физически противоречивым ре- зультатам. Так, волновое уравнение для частиц со спином 0 име- ет комплексные (с мнимыми частями обоих знаков) уровни энер- гии в поле достаточно глубокой потенциальной ямы. Волновое уравнение для частиц со спином 3/2 приводит к нарушению при- чинности, проявляющемуся в появлении решений, распростра- няющихся со сверхсветовой скоростью.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Дирака для электрона во внешнем поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
: 