При проведении вторичного квантования ^-функции A1.1) коэффициенты ар и ар рассматривались как операторы, от- носящиеся к различным частицам. Это, однако, не обязатель- но: как частный случай входящие в ф операторы уничтожения и рождения могут относиться к одним и тем же частицам (как это было для фотонов — ср. B.17)). Обозначив в этом случае указан- ные операторы как ср hcJ, напишем ^-оператор в виде ^V^ A2.1) р Описываемое таким оператором поле соответствует системе оди- наковых частиц, о которых можно сказать, что они «совпадают со своими античастицами». Оператор A2.1) эрмитов (ф+ = ф); в этом смысле такое поле имеет вдвое меньше «степеней свободы», чем комплексное поле, для которого операторы ф и ф+ не совпадают. В связи с этим лагранжиан поля, выраженный через эрмитов оператор ф, должен содержать лишний (по сравнению с A0.9)) множитель 1/2 2) L = A/2)(д^ф'д^ф-т2ф2). A2.2) Соответствующий тензор энергии-импульса %и = д^ф ¦ д„ф - Lglu/, A2.3) так что оператор плотности энергии 1) На бозоны понятие античастиц было распространено Вайскопфом и Па- ули (V. Weisskopf, W. Pauli, 1934). 2) Подобно лишнему множителю 1/2 в операторе B.10) плотности энергии электромагнитного поля (выраженного через эрмитовы операторы Е и Н), по сравнению с плотностью энергии фотона C.2), выраженной через его комплексную волновую функцию; ср. примеч. на с. 26. § 12 ИСТИННО НЕЙТРАЛЬНЫЕ ЧАСТИЦЫ 61 Подставив A2.1) в интеграл JTqqcPx, получим гамильтониан поля 2 Р Отсюда снова видна необходимость квантования по Бозе: {сР, гр~}_ = 1, A2.6) и собственные значения энергии (снова за вычетом аддитивной постоянной) " PNP. A2.7) При квантовании же по Ферми мы получили бы бессмысленный результат —не зависящее от Np значение Е. «Заряд» Q рассматриваемого поля равен нулю. Это ясно уже из того, что заряд Q должен менять знак при замене частиц ан- тичастицами, а в данном случае те и другие совпадают. В связи с этим не существует и 4-вектора плотности тока. Действительно, выражение j^ = {[ф^д^ф — (д^ф^)^] A2.8) для оператора сохраняющегося 4-вектора j при ф = ф^ обраща- ется в нуль (вектор же фд^ф сам по себе не сохраняется). Это в свою очередь означает отсутствие какого-либо особого зако- на сохранения, который бы ограничивал возможные изменения числа частиц. Очевидно, что такие частицы, во всяком случае, электрически нейтральны. Частицы такого рода называют истинно нейтральными, в отличие от электрически нейтральных частиц, имеющих антича- стицу. В то время как последние могут аннигилировать (превра- щаясь в фотоны) лишь парами, истинно нейтральные частицы могут аннигилировать поодиночке. Структура ^-оператора A2.1) —такая же, как структура опе- раторов B.17)—B.20) электромагнитного поля. В этом смысле можно сказать, что и сами фотоны — истинно нейтральные ча- стицы. В случае электромагнитного поля эрмитовость операто- ров была связана с вещественностью напряженностей поля как измеримых (в классическом пределе) физических величин. В случае же ^-операторов частиц такой связи не существует, по- скольку им вообще не соответствуют какие-либо непосредствен- но измеримые величины. Отсутствие сохраняющегося 4-вектора тока есть общее свой- ство истинно нейтральных частиц и не связано с равным нулю спином (так, оно имеет место и для фотонов). Физически оно 62 БОЗОНЫ ГЛ. II выражает отсутствие соответствующих запретов для изменения числа частиц. С формальной же точки зрения существует пря- мая связь между отсутствием сохраняющегося тока и веществен- ностью поля — эрмитовостью оператора ф. Лагранжиан комплексного поля L = д^ф+ • д^ф - т2ф+ф A2.9) инвариантен по отношению к умножению ^-оператора на произ- вольный фазовый множитель, т. е. по отношению к преобразо- ваниям ^ ^ ^ ^ ф -+ ешф, ф+ -+ е~шф+ A2.10) (их называют калибровочными). В частности, лагранжиан не ме- няется при бесконечно малом калибровочном преобразовании ф —>• ф -\- iSoi, • ф, ф —>• ^ — iSoi, • ^ . A2.11) При бесконечно малом изменении «обобщенных координат» q лагранжиан испытывает изменение dL * dL dq dq, ^ — — ] да + > да dq dx^dq^J ^-^ дх^ \dq^ (суммирование по всем q). Первый член обращается в нуль в си- лу «уравнений движ:ения» (уравнений Лагранжа). Понимая под «координатами» q операторы ф и ф+ и положив дф = гда • ф, 8ф+ = — гда • ^+, получим г^ т д (Т dL "^+ dL дь = гда фф^ Отсюда видно, что условие неизменности лагранжиана (SL = 0) эквивалентно уравнению непрерывности (d^j^=O) для 4-вектора A2Л2) Легко убедиться, что для лагранжиана A2.9) эта формула при- водит к току A2.8). Таким образом, в математическом формализме теории суще- ствование сохраняющегося тока оказывается связанным с ин- вариантностью лагранжиана по отношению к калибровочным преобразованиям (W. Pauli, 1941).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Истинно нейтральные частицы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
