Вектор поляризации е играет для фотона роль «спиновой ча- сти» волновой функции (с теми оговорками, которые были вы- сказаны в § 6 по поводу понятия спина фотона). Различные случаи, которые могут иметь место для поляри- зации фотона, ничем не отличаются от возможных типов поля- ризации классической электромагнитной волны (см. II, § 48). Произвольную поляризацию е можно представить в виде на- ложения двух выбранных каким-либо определенным образом взаимно ортогональных поляризаций е^1) и е^2) (e^W2)* = 0). В разложении е = eie^ + е2е<2) (8.1) квадраты модулей коэффициентов е\ и е2 определяют вероят- ность того, что фотон имеет поляризацию е^1) или е^2). В качестве последних можно выбрать две взаимно перпенди- кулярные линейные поляризации. Можно также разлагать про- извольную поляризацию на две круговые с противоположными направлениями вращения. Векторы правой и левой круговой по- ляризации обозначим соответственно e^+1) и е^); в системе ко- ординат ^т]( с осью ( вдоль направления фотона n = k/a; е(+!) = -^(е(« + ieM), е^1) = -±=(е^ - ie^). (8.2) Возможность двух различных поляризаций фотона (при за- данном импульсе) означает, другими словами, что каждое соб- ственное значение импульса двукратно вырождено. Это обстоя- тельство тесно связано с равенством массы фотона нулю. Для свободно движущейся частицы с ненулевой массой все- гда существует система покоя. Очевидно, что именно в этой си- стеме отсчета выявляются собственные свойства симметрии ча- стицы как таковой. При этом должна рассматриваться симмет- рия по отношению ко всем возможным поворотам вокруг центра 42 фотон (т. е. по отношению ко всей группе сферической симметрии). Ха- рактеристикой свойств симметрии частицы по отношению к этой группе является ее спин «s, определяющий кратность вырожде- ния (число 2s + 1 преобразующихся друг через друга различных волновых функций). В частности, частице с векторной (три ком- поненты) волновой функцией отвечает спин 1. Для частицы же с равной нулю массой не существует систе- мы покоя — в любой системе отсчета она движется со скоростью света. По отношению к такой частице всегда имеется выделенное направление в пространстве — направление вектора импульса к (ось ?). Ясно, что в таком случае отсутствует симметрия по отно- шению ко всей группе трехмерных вращений, и можно говорить лишь об аксиальной симметрии относительно выделенной оси. При аксиальной симметрии сохраняется лишь спиралъностъ частицы — проекция момента на ось ?; обозначим ее А х) . Ес- ли потребовать также симметрии по отношению к отражениям в плоскостях, проходящих через ось ?, то состояния, различа- ющиеся знаком А, будут взаимно вырождены; при А ф 0 мы будем иметь, следовательно, двукратное вырождение 2) . Состо- яние фотона с определенным импульсом и соответствует одному из типов таких двукратно вырожденных состояний. Оно описы- вается «спиновой» волновой функцией, представляющей собой вектор е в плоскости ^г/; две компоненты этого вектора преобра- зуются друг через друга при всех поворотах вокруг оси ( и при отражениях в плоскостях, проходящих через эту ось. Различные случаи поляризации фотона находятся в опреде- ленном соответствии с возможными значениями его спирально- сти. Это соответствие можно установить по формулам III, E7,9), связывающим компоненты векторной волновой функции с ком- понентами эквивалентного ей спинора второго ранга 3) . Проек- циям А = +1 или — 1 соответствуют векторы е с отличной от нуля лишь компонентой е^ — ге^ или е^ + ie^, т. е. соответственно е=е^+1) или е=е^~1^. Другими словами, значения А= + 1 и — 1 соответствуют правой и левой круговой поляризации фотона (в § 16 этот же результат будет получен путем прямого вычисления собственных функций оператора проекции спина). Таким обра- зом, проекция момента фотона на направление его движения мо- жет иметь лишь два значения (=Ы); значение 0 не возможно. Х)В отличие от проекции т момента на заданное направление (ось z) в пространстве, о которой шла речь в предыдущем параграфе. ) Отметим, что таким же образом классифицируются электронные термы двухатомной молекулы (см. III, § 78). ) Напомним, что компонентам волновой функции как амплитудам веро- ятности различных значений проекции момента частицы (о которых здесь и идет речь) отвечают контравариантные компоненты спинора. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ФОТОНА 43 Состояние фотона с определенными импульсом и поляриза- цией есть чистое состояние (в смысле, разъясненном в III, § 14); оно описывается волновой функцией и соответствует полному квантовомеханическому описанию состояния частицы (фотона). Возможны также и «смешанные» состояния фотона, соответ- ствующие менее полному описанию, осуществляемому не волно- вой функцией, а лишь матрицей плотности. Рассмотрим состояние фотона, смешанное по его поляриза- ции, но соответствующее определенному значению импульса к. В таком состоянии (его называют состоянием частичной поля- ризации существует «координатная» волновая функция. Поляризационная матрица плотности фотона представляет собой тензор второго ранга рар в плоскости, перпендикулярной вектору п (плоскость ?77; индексы а, /3 пробегают всего два зна- чения). Этот тензор эрмитов: Ра/3 = P*pai (8-3) и нормирован условием Раа = Р11 + Р22 = 1- (8.4) В силу (8.3) диагональные компоненты рц и р22 вещественны, причем определяются одна по другой условием (8.4). Компонента же р\2 комплексна, а р2\ = р\2- Всего, следовательно, матрица плотности характеризуется тремя вещественными параметрами. Если известна поляризационная матрица плотности, то мож- но найти вероятность того, что фотон имеет любую определен- ную поляризацию е. Эта вероятность определяется «проекцией» тензора рар на направление вектора е, т. е. величиной Раре*аер. (8.5) Так, компоненты рц и р22 представляют собой вероятности ли- нейных поляризаций вдоль осей ? и г/. Проецирование на векторы (8.2) дает вероятности двух круговых поляризаций: 1-[l±i(Pl2-p2i)}. (8.6) Свойства тензора рар по форме и по существу совпадают со свойствами тензора Jap, описывающего частично поляризован- ный свет в классической теории (см. II, § 50). Напомним здесь некоторые из этих свойств. В случае чистого состояния с определенной поляризацией е тензор рар сводится к произведениям компонент вектора е: РаC = еаёр. (8.7) При этом определитель \рар = 0|. В обратном случае неполя- ризованного фотона все направления поляризации равновероят- ны, т. е. ^ , , ч РаC = 0ар/2, (8.8) При ЭТОМ \ра(з\ — 44 фотон В общем случае частичную поляризацию удобно описывать с помощью трех вещественных параметров Стокса ?i, ?2, ?3 *) , через которые матрица плотности выражается в виде +6 6 - i& + *6 1 - 6 Все три параметра пробегают значения между —1 и +1. В непо- ляризованном состоянии ?i = ?2 = Сз = 0; для полностью поля- ризованного фотона Ci + С| + Сз = 1- Параметр ?з характеризует линейную поляризацию вдоль осей ? или г/; вероятность линейной поляризации фотона вдоль этих осей равна соответственно A + ?з)/2 или A — ?з)/2. Зна- чения ?з = +1 или — 1 отвечают поэтому полной поляризации в этих направлениях. Параметр ?i характеризует линейную поляризацию вдоль на- правлений, составляющих угол ср = тг/4 или ср = —тг/4 с осью ?. Вероятность линейной поляризации фотона в этих направлениях равна соответственно A + ?i)/2 или A — ?i)/2; в этом легко убе- диться, спроецировав тензор р^ на направления е = A, ±1)/д/2. Наконец, параметр ^2 есть степень круговой поляризации; согласно (8.6) вероятность того, что фотон имеет правую или левую круговую поляризацию, равна A + ^)/2 или A — <^2)/2. Поскольку две поляризации отвечают спиральностям А = =Ы, то ясно, что в общем случае ^2 есть среднее значение спирально- сти фотона. Отметим также, что в случае чистого состояния с поляризацией е ?2 = i[ee*]n. (8.10) Напомним (см. II, § 50), что по отношению к преобразованиям Лоренца инвариантными величинами являются ^2 и V^i + ?3 • Мы встретимся также в дальнейшем с вопросом о поведении параметров Стокса по отношению к операции обращения време- ни. Легко видеть, что они инвариантны по отношению к этому преобразованию. Это свойство не зависит, очевидно, от приро- ды поляризационного состояния, и потому достаточно убедиться в нем хотя бы в случае чистого состояния. Обращению време- ни отвечает в квантовой механике замена волновой функции ее комплексно-сопряженной (см. III, § 18). Для плоскополяризован- ной волны это означает замену 2) k-»-k, е^-е*. (8.11) Не смешивать обозначение параметров с обозначением оси ?! ) Дополнительное изменение знака е связано с тем, что обращение време- ни меняет знак векторного потенциала электромагнитного поля. Скалярный же потенциал не меняет знака; поэтому для 4-вектора е обращение времени есть преобразование . * *. . Р Р (eo,e)->(eS,-e*). (8.11а) ПОЛЯРИЗАЦИЯ ФОТОНА 45 При таком преобразовании симметричная часть матрицы плот- ности A/2) (е^е^ + е^е*), а тем самым и параметры ?i и ?з не меняются. Неизменность же параметра ?2 ПРИ том же преобразо- вании видна из (8.10); она очевидна также уже из смысла ?2 как среднего значения спиральности. Действительно, спиральность есть проекция момента j на направление п, т. е. произведение jn; обращение же времени меняет знак обоих этих векторов. В дальнейших вычислениях нам понадобится матрица плот- ности фотона, записанная в четырехмерной форме, т. е. в виде некоторого 4-тензора р^. Для поляризованного фотона, описы- ваемого 4-вектором е^, этот тензор естественно определить как /V = Че1- (8-12) При трехмерно поперечной калибровке е = @,е), если одна из пространственных осей координат выбрана вдоль п, отличные от нуля компоненты этого 4-тензора совпадают с (8.7). Для неполяризованного фотона трехмерно поперечной кали- бровке отвечает тензор p^v с компонентами Pik = -(Sik - щпк), ры = pio = poo = 0 (8.13) (если одна из осей совпадает с направлением п, мы возвращаемся к (8.8)). Непосредственно использовать тензор р^у в таком трех- мерном виде, однако, неудобно. Но мы можем воспользоваться калибровочным преобразованием; для матрицы плотности это есть преобразование вида Pilv -> Pilv + XiiK + хЛ^ (8.14) где Хц — произвольные функции. Положив получим вместо (8.13) простое четырехмерное выражение Четырехмерное представление матрицы плотности частично поляризованного фотона легко получить, переписав предвари- тельно двумерный тензор (8.9) в трехмерном виде: Ргк = (l/2)(ef Ч1) + ef)ef) + (S1)i2) ?^ где е^1), е^2) — единичные векторы, орты осей ? и г/. Требуемое обобщение достигается заменой этих 3-векторов пространствен- но-подобными единичными вещественными 4-векторами е^1), е^2\ ортогональными друг другу и 4-импульсу фотона к: еAJ = еBJ = _^ еA)еB)=0, e(l)jfc = е^к = 0. (8.16) 46 фотон В трехмерно поперечной калибровке: е^) = @, е^), еB) = @, е Таким образом, четырехмерная матрица плотности фотона М^-ФФ). (8-17) Удобство того или иного фактического выбора 4-векторов е^1), ev J зависит от конкретных условии рассматриваемой задачи. Надо иметь в виду, что условия (8.16) не фиксируют выбо- ра е^1) и е^2) однозначным образом. Если какой-либо 4-вектор е^ удовлетворяет этим условиям, то им же будет удовлетворять и любой 4-вектор вида е^ + х^ц (в силу того, что к2 = 0). Эта неоднозначность связана с калибровочной неоднозначностью ма- трицы плотности. Первый член в (8.17) отвечает неполяризованному состоя- нию. Поэтому его можно было бы заменить, согласно (8.15), на —g^/2. Такая замена снова эквивалентна некоторому калибро- вочному преобразованию. При оперировании с 4-тензорами вида (8.17), разложенными по двум независимым 4-векторам, удобно применять следующий формальный прием. Записав (8.17) в виде з а, 6=1 представим коэффициенты р(' двухрядной матрицей Р = Как всякую эрмитову двухрядную матрицу, ее можно разло- жить по четырем независимым двухрядным матрицам — матри- цам Паули <тж, Оу, gz и единичной матрице 1: в чем легко убедиться прямым сравнением с (8.17), использовав известные выражения матриц Паули A8.5) (объединение трех величин ?ь ^2? ?з в «вектор» ? имеет, конечно, чисто формальный смысл, преследующий лишь цель удобства записи).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Поляризация фотона» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Не смешивать обозначение параметров с обозначением оси ?! 
