Определив возможные значения момента фотона, мы долж- ны теперь найти соответствующие им волновые функции 2) . Рассмотрим сначала формальную задачу: определить такие векторные функции, которые являлись бы собственными функ- циями операторов j2 и jz; при этом мы не предрешаем заранее, какие именно из этих функций входят в интересующие нас вол- новые функции фотона, и не учитываем условия поперечности. Будем искать функции в импульсном представлении. Опера- тор координат в этом представлении3 = id/dk (см. III, A5.12)). Оператор же орбитального момента т. е. отличается от оператора момента в координатном представ- лении лишь заменой буквы г на к. Поэтому решение поставлен- ной задачи в обоих представлениях формально одинаково. Обозначим искомые собственные функции посредством Yjm и будем называть их шаровыми векторами. Они должны удо- влетворять уравнениям ? = j(j + l)Yim, jzYjm = mYjm G.1) (ось z — заданное направление в пространстве). Покажем, что этим свойством обладает любая функция вида aljm, где а — какой-либо вектор, образованный с помощью единичного векто- ра п = k/o;, a Yjm — обычные (скалярные) шаровые функции. Последние будем везде определять согласно III, § 28: X ]YTt \ J-l / — \ J- / " \ I J-i \ COo G ) о 1 i . Zi) tmV/ v / Л/ >! /7 . i i \ I / v / v / 1) Эти названия соответствуют терминологии классической теории излуче- ния: мы увидим в дальнейшем (§ 46, 47), что излучение фотонов электриче- ского и магнитного типов определяется соответствующими электрическими и магнитными моментами системы зарядов. ) Этот вопрос был впервые рассмотрен Гайтлером (W. Heitler, 1936). Из- лагаемая форма решения принадлежит В. Б. Берестецкому A947). 36 фотон (^ — сферические углы, определяющие направление п) . Для этого вспомним правило коммутации III, B9.4): Правую сторону этого равенства можно написать в виде (— где s~—оператор спина 1 (воздействие этого оператора на вектор- ную функцию как раз определяется равенством ?га/с = ~i>eiklal] см. III, § 57, задача 2). Поэтому имеем Воспользовавшись этим равенством, найдем 3%ак = (к + %)о>к = акк- Следовательно, Но шаровая функция Yjm есть собственная функция операторов 1 и lZl соответствующая собственным значениям этих величин j(j + 1) и 771, так что мы приходим к равенствам G.1). Мы получим три существенно различных типа шаровых век- торов, выбирая в качестве вектора а один из следующих векто- 2) ров 2) n. G.3) v J Таким образом, определяем шаровые векторы следующим об- разом: jm ~ V J \J ' """/ G.4) ) Отметим для будущих ссылок значение функций при в = 0 (п — вдоль оси z): Ylm(nz) = fJ?L±lsmo. G.2а) V 4тг 2) Оператор Vn = |k| Vk и действует на функции, зависящие только от направления п. Он имеет (в сферических координатах) всего две составля- ющие: п~ \дв' sin6 dip) ' Оператор, обозначенный ниже посредством Ап, — угловая часть оператора Лапласа: § 7 СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ФОТОНОВ 37 Рядом с каждым вектором указана его четность Р. Шаровые векторы трех типов взаимно ортогональны, причем Y^—про- долен, a Y^ и Y^ —поперечны по отношению к п. Шаровые векторы могут быть выражены через скалярные шаровые функции. При этом Y^ выражаются через шаровые функции лишь одного порядка / = j, a Y^ и Y^ —через шаро- вые функции порядков I = j ±1. Это обстоятельство очевидно: достаточно сравнить указанные в G.4) четности шаровых век- торов с четностью (—1)г+1 векторного поля, выраженной через порядок содержащихся в нем шаровых функций. Шаровые векторы каждого из типов взаимно ортогональны и нормированы согласно G.5) Для векторов Y^ это очевидно в силу условия нормировки ша- ровых функций Yjm. Для векторов Y^ нормировочный инте- грал Y-i i AnYjmdo, и, поскольку AnYjm = —j(j + l)ljm, то мы приходим к G.5). К -%.г(м) такому же интегралу сводится нормировка векторов Y^m. Заметим, что к шаровым векторам G.4) можно было бы прий- ти и без произведенной выше прямой проверки уравнений G.1) — уже на основании общих соображений о трансформационных свойствах функций. Такие соображения привели нас в предыду- щем параграфе к выводу о том, что векторная функция вида пер отвечает значению j момента, совпадающему с порядком шаро- вых функций, входящих в ер] если положить просто ер = Yjmi то функция пер будет соответствовать также и определенному зна- чению т проекции момента. Таким образом, мы сразу приходим к шаровым векторам Y^. Но изложенные в § 6 рассуждения о трансформационных свойствах не изменятся, если заменить множитель п в произведении пер вектором Vn или [nVn]; таким образом, мы получим шаровые векторы двух других типов. Вернемся к волновым функциям фотона. Для фотона элек- трического типа (Ej) вектор А (к) должен обладать четностью (—1)J. Такую четность имеют шаровые векторы Y^ и Y^; из них, однако, лишь первый удовлетворяет условию поперечности. Для фотона магнитного типа (Mj) вектор А (к) должен иметь 38 фотон четность (—ly^~ ; такую четность имеет только шаровой вектор Y^\ Поэтому волновые функции фотона с определенным мо- ментом j и его проекций т (и энергией со) -oo)Yjm(n), G.6) причем в качестве Yjm надо писать Y^ или Y^ соответственно в случае фотона электрического или магнитного типа; заданное значение энергии учитывается множителем #(|к| —ио). Функции G.6) нормированы условием —— / a;a;/A*Ym,(k)A^m(k)rf3A; = ш8(ш' - u>)8jji8mmi. G.7) Для волновых функций координатного представления усло- вие G.7) эквивалентно условию х) ± J = u>S(u>' - oo)SjjfSmmf. G.8) Действительно, интеграл в левой стороне равенства, выражен- ный через потенциалы, имеет вид if* /з 27Г J и j m ujm Сюда надо подставить Awjm® = Г Л ¦ ^^.гкг d3k После этого интегрирование по d3x дает E-функцию BтгKE(к/ — — к), которая устраняется интегрированием по d?А/, и интеграл приводится к виду G.7). До сих пор мы подразумевали поперечную калибровку потен- циалов, при которой скалярный потенциал Ф = 0. В различных применениях, однако, могут оказаться более удобными другие способы калибровки сферической волны. ( } G.9) d3k' 1)Это условие того же типа, что и B.22). Появление множителя 6{ио' — uj) в правой стороне равенства связано с тем, что здесь рассматри- вается поле (сферическая волна) во всем бесконечном пространстве вместо поля в конечном объеме V = 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ФОТОНОВ 39 Допустимое преобразование потенциалов в импульсном пред- ставлении состоит в замене А -> А + п/(к), Ф -> Ф + /(к), где /(к)—произвольная функция. Выберем ее в данном случае таким образом, чтобы новые потенциалы выражались через те же шаровые функции и чтобы они по-прежнему имели опреде- ленную четность. Для фотона электрического типа эти условия ограничивают выбор потенциалов следующими функциями: ujjm^ (э) jm CnYjm), G.10) где С — произвольная постоянная. Для фотона же магнитного типа такая добавка к А^м^(к) лишала бы его определенной чет- ности, и поэтому при тех же условиях выбор G.6) оказывается однозначным. Вероятность того, что фотон с определенными моментом и четностью будет зарегистрирован движущимся в направлении п, лежащем в элементе телесного угла do, согласно C.5) и G.6) равна w(n)do = ¦ jm do. G.11) Мы написали выражение для фотона ?7-типа. Но поскольку , распределения вероятностей w(n) для фо- jm тонов обоих типов одинаковы. ^ 2 Квадрат модуля ¦ jm не зависит от азимутального угла ср (множители е^1^ в шаровых функциях сокращаются). Поэто- му распределение вероятностей w(n) симметрично относительно оси z. Далее, поскольку каждый из шаровых векторов обладает определенной четностью, квадраты их модулей четны по отно- шению к инверсии, т. е. по отношению к замене полярного угла в —>> тг—в; это значит, что функция wF), будучи разложена по по- линомам Лежандра, содержит полиномы лишь четного порядка. Определение коэффициентов такого разложения сводится к вы- числению интегралов от произведений трех шаровых функций и дальнейшему суммированию по компонентам. То и другое про- изводится по формулам, полученным в III, § 107-108, и приводит 40 фотон к следующему результату: ОО П1\\1Л\ — / 1 \ иу-г J- у J ¦ / х [Arm _L 1 | I ^ ^ 11^ ^ IV Ш \\J i I -L у / Iti/6 n^ J. J I л r» Oil 'm 'm C\ I A.'jr -^ уU \j \J J \lIL lii \J I n=0 x it 3. \ Po (cos в). G 12) Приведем, наконец, выражения компонент шаровых векторов в виде разложений по шаровым функциям. При этом мы поль- зуемся «сферическими компонентами» вектора, определенными согласно III, § 107; компоненты Д вектора f: f0 = if f+1 = —J—(fx -\- if ) f_1 = —(fx — if ). G.13) Если ввести «циркулярные орты»: (e(x,y,z) _орты осей ж, у, z\ то f = YX-lf-bf.xeW, fx = (-lI-^-^* = feW. G.15) л Сферические компоненты шаровых векторов выраж:аются с по- мощью З^-символов через шаровые функции следующими фор- мулами: , G.16) 2_ 1 7 \ + А -А -т) yj-i,m+A- Эти формулы выводятся следующим образом. Каждый из трех шаровых векторов имеет вид Yjm = aljm, где а — один из трех векторов G.3). Поэтому Yjm = и задача сводится к нахождению матричных элементов векто- ров а относительно собственных функций орбитального момен- та. Согласно A07.6) (см. III) имеем ПОЛЯРИЗАЦИЯ ФОТОНА 41 д Jmax~ большее из чисел / и j. Поэтому достаточно знать от- личные от нуля приведенные матричные элементы (/||a||j). Для них имеются формулы:
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Сферические волны фотонов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 