Амплитуда рассеяния в произвольном (не обязательно цен- тральном) поле удовлетворяет определенным соотношениям, являющимся следствием некоторых общих физических требо- ваний. Асимптотический вид волновой функции на больших рассто- яниях при упругом рассеянии в произвольном поле ф ~ eifernn' + i/(n, ri)eikr. A25.1) Эта форма записи отличается от A23.3) в том отношении, что амплитуда рассеяния зависит здесь от направлений двух еди- ничных векторов — вдоль направления падения частиц (п) и вдоль направления рассеяния (п'), а не только от угла между ними. Любая линейная комбинация функций вида A25.1) с различ- ными направлениями падения п тоже представляет некоторый возможный процесс рассеяния. Умножив функции A25.1) на произвольные коэффициенты ^(п) и проинтегрировав по всем направлениям п (элемент телесного угла do), напишем такую линейную комбинацию в виде интеграла Г F(n)eikrnn'do + — Г F(n)/(n, ri)do. A25.2) 618 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII Поскольку расстояние г сколь угодно велико, множитель егкгпп в первом интеграле является быстро осциллирующей функцией направления переменного вектора п. Значение интеграла опре- деляется поэтому в основном областями вблизи тех значений п, при которых показатель экспоненты имеет экстремум (n = in7). В каждой из областей множитель -F(n) « F(±nf) можно вынести за знак интеграла, после чего интегрирование дает1) ^ - 2mF(ri)— + — [ f(n,nf)F(n) do. kr r J 2mF(ri) + кг kr r J Перепишем это выражение в компактном операторном виде, опустив общий множитель 2тгг//с: —F(-n') - — SF(n'), A25.3) г г где S = l + 2ifc/, A25.4) а / — интегральный оператор: /F(n') = j-J /(n, n')F(n)do. A25.5) Оператор S называют оператором (или матрицей) рассеяния, или просто S-матрицей, он был впервые введен В. Гейзенбергом A943). Первый член в A25.3) представляет собой сходящуюся к цен- тру, а второй — расходящуюся от центра волну. Сохранение чи- сла частиц при упругом рассеянии выражается равенством пол- ных потоков частиц в сходящейся и расходящейся волнах. Дру- гими словами, эти две волны должны иметь одинаковую норми- ровку. Для этого оператор рассеяния должен быть унитарным (см. § 12), т.е. должно быть SS+ = 1, A25.6) или, подставив A25.4) и произведя перемножение: + 7+. A25.7) 1) Для вычисления интеграла смещаем путь интегрирования по перемен- ной /i = cos# @ — угол между п и п') в плоскости комплексного \i так, чтобы он выгибался в сторону верхней полуплоскости, оставаясь закрепленным на своих концах /i = ±1. Тогда при удалении от каждого из этих концов функ- ция егкг^ быстро затухает. § 125 УСЛОВИЕ УНИТАРНОСТИ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ 619 Наконец, учитывая определение A25.5), перепишем окончатель- но условие унитарности для рассеяния в виде Дп, п') - />', п) = ? J /(n, n")/*(n', n")do". A25.8) При п = п' интеграл в правой части равенства есть не что иное, как полное сечение рассеяния a = J\f(n,n")\2do". Разность же в левой части равенства сводится в этом случае к мнимой части амплитуды /(п, п). Таким образом, получаем сле- дующее общее соотношение между полным сечением упругого рассеяния и мнимой частью амплитуды рассеяния на нулевой угол: , Im/(n,n) = -p-<7 A25.9) (так называемая оптическая теорема для рассеяния). Еще одно общее свойство амплитуды рассеяния может быть получено, исходя из требования симметрии по отношению к обращению времени. В квантовой механике эта симметрия вы- ражается в том, что если функция описывает какое-либо воз- можное состояние, то и комплексно сопряженная функция ф* отвечает некоторому возможному состоянию (см. § 18). Поэтому волновая функция —F*(-n') - —S*F*{nr), г г комплексно сопряженная функции A25.3), тоже описывает не- который возможный процесс рассеяния. Введем новую произ- вольную функцию —S*F*(iif) = Ф(—п'). Учитывая унитарность оператора 5, имеем F*(n') = -S*-^(-n') = -5Ф(-п'); введя оператор Р инверсии координат, меняющий знак векто- ров п и п', напишем F*(-ri)PF*(ri) = -Р?РФ(п'). Таким образом, получаем обращенную по времени волновую функцию в виде 620 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII Она должна по существу совпадать с исходной волновой функ- цией A25.3). Сравнение показывает, что для этого должно вы- полняться условие PSP = S, A25.10) тогда обе функции отличаются лишь обозначением произволь- ной функции. Соответствующее соотношение для амплитуды рассеяния получим, переходя от операторного равенства A25.10) к ма- тричному. Транспонирование меняет местами начальный и ко- нечный векторы п и п7, а инверсия меняет их знаки. Поэтому имеем 5(n,n/) = 5(-n/,-n), A25.11) или, что то же: /(n,n') = /(-n/,-n). A25.12) Это соотношение (так называемая теорема взаимности) вы- ражает собой естественный результат: совпадение амплитуд двух процессов рассеяния, являющихся обращенными по време- ни друг по отношению к другу. Обращение времени переста- вляет начальное и конечное состояния и меняет направления движения частиц в них на обратные. Для рассеяния в центральном поле полученные общие соот- ношения упрощаются. В этом случае амплитуда /(п, п') зависит только от угла в между п и п'. Поэтому равенство A25.12) пре- вращается в тождество. Условие же унитарности A25.8) прини- мает вид Im № = A I fb)f(<y')do", A25.13) где 7? 77 — углы между п, п7 и некоторым направлением nff в пространстве. Если представить f@) в виде разложения A23.14), то с помощью теоремы сложения для сферических функции (с.10) из A25.13) получим следующее соотношение для парциальных амплитуд: Im/^^l/,12. A25.14) Эта формула может быть получена и непосредственно из выра- жения A23.15), согласно которому \2ikfi + 1|2 = 1. Оптическую теорему A25.9) в случае рассеяния в центральном поле тоже легко получить непосредственно из формул A23.11), A23.12). § 125 УСЛОВИЕ УНИТАРНОСТИ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ 621 Переписав A25.14) в виде Im(l///) = —fc, мы видим, что ам- плитуда // должна иметь вид где gi = gi(k) — вещественная величина; она связана с фазой 8\ соотношением gi = kctgSi. A25.16) В дальнейшем мы неоднократно будем пользоваться таким представлением амплитуды. Проследим — для рассеяния в центральном поле — за связью между введенным выше понятием оператора рассеяния и вели- чинами, фигурирующими в изложенной в § 123 теории. Поскольку орбитальный момент в центральном поле сохра- няется, оператор рассеяния коммутативен с оператором момен- та. Другими словами, ^-матрица диагональна в /-представле- нии. При этом в силу унитарности оператора S его собственные значения должны быть по модулю равны единице, т. е. имеют вид ехрBг5/) с вещественными величинами 8\. Легко видеть, что эти величины совпадают с фазовыми сдвигами волновых функций, так что собственные значения ^-матрицы совпадают с введенными в § 123 величинами Si A23.10); собственные же значения оператора / = (S — 1)/Bгк) соответственно совпадают с парциальными амплитудами A23.15). Действительно, если в качестве функции F(n) выбрать P/(cos#) (при этом F(—n) = = Pi{— cos6) = (—iyP/(cos#)), то волновая функция A25.3) должна совпасть с решением уравнения Шредингера, изобра- жаемым отдельным членом суммы в A23.9); это и значит, что SPi(cos6) = S/P/(cos (9). Для плоской волны, падающей вдоль оси z, функция F(n) в A25.3) есть E-функция F = 4EA — cos#), где в — угол между п и осью z, 8-функция определена здесь, как указано в примеч. на с. 616, а коэффициент перед ней выбран так, чтобы при под- становке в правую часть определения A25.5) получалось прос- то f@) (где теперь в— угол между п7 и осью z). Представив (^-функцию в виде A24.3) F = 4EA - cos(9) = 2^B/ + l)P/(cos(9) A25.17) 1=0 и применив к ней оператор /, мы получим, как и следовало, амплитуду рассеяния в виде A23.14). 622 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII Наконец, сделаем еще следующее замечание. С математи- ческой точки зрения, условие унитарности A25.8) показывает, что не всякая наперед заданная функция /(п, п') могла бы быть амплитудой рассеяния в каком-либо поле. В частности, не вся- кая функция f{ff) могла бы быть амплитудой рассеяния в ка- ком-либо центральном поле. В силу A25.13) должно выполнять- ся определенное соотношение между ее вещественной и мнимой частями. Если написать /@) = |/|ега, то при заданном для всех углов модуле |/| соотношение A25.13) даст интегральное урав- нение, из которого в принципе можно определить неизвестную фазу а(в). Другими словами, по известному для всех углов сече- нию рассеяния (квадрату |/| ) можно в принципе восстановить и амплитуду. Это восстановление, однако, не вполне однозначно и определяет амплитуду лишь с точностью до замены f(9) -+ -Г(в), A25.18) оставляющей инвариантным уравнение A25.13) и, конечно, не меняющей сечения |/|2 (преобразование A25.18) эквивалентно одновременному изменению знака всех фаз Si в A23.11)). Эта не- однозначность, однако, устраняется, если амплитуда рассеяния рассматривается не только в зависимости от угла, но и от энер- гии. Мы увидим ниже (§ 128,129), что аналитические свойства амплитуды как функции энергии не инвариантны относительно преобразования A25.18).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Условие унитарности для рассеяния» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
