Многие свойства ядер могут быть хорошо описаны с помо- щью модели оболочек, по своим основным представлениям ана- логичной тому, как описывается строение электронной оболочки атома. В этом описании каждый нуклон в ядре рассматрива- ется как движущийся в самосогласованном поле, создаваемом совокупностью всех остальных нуклонов (ввиду малого радиу- са действия ядерных сил это поле быстро затухает вне объе- ма, ограниченного «поверхностью» ядра). Соответственно это- му, состояние ядра в целом описывается перечислением состоя- ний отдельных нуклонов. 584 СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА Самосогласованное поле сферически-симметрично, причем центром симметрии является, естественно, центр инерции яд- ра. В связи с этим, однако, возникает следующее затруднение. В методе самосогласованного поля волновая функция системы строится как произведение (или должным образом симметризо- ванная сумма произведений) волновых функций отдельных ча- стиц. Но такая функция не обеспечивает неподвижности центра инерции: хотя вычисленное с ее помощью среднее значение ско- рости центра инерции и будет равным нулю, однако эта же вол- новая функция приведет к конечным вероятностям отличных от нуля значений скоростиг). Это затруднение может быть обойдено путем предваритель- ного исключения движения центра инерции при вычислении любой физической величины с помощью волновых функций ^(ri,... ,г^) метода самосогласованного поля. Пусть /(г^,Рг) есть какая-либо физическая величина— функция координат и импульсов нуклонов. Тогда при вычислении ее матричных эле- ментов с помощью функций ф надо, не меняя ^(гг)? произвести замену аргументов функции / согласно г; -+ Гг - R, pi -+ pi - j, A18.1) где R — радиус-вектор центра инерции ядра; А — число частиц в нем; Р — импульс его движения как целого; вторая из за- мен A18.1) соответствует вычитанию v^ —>> v^ — V из скоростей нуклонов скорости центра инерции V, с которой импульс Р свя- зан соотношением Р = AmpV (S. Gartenhaus, С. Schwartz, 1957). Так, оператор дипольного момента ядра есть d = е^гр, где суммирование производится по всем протонам в ядре. Для вычисления же матричных элементов в методе самосогласован- ного поля этот оператор надо заменить оператором е XXгр ~~ -^)- Координаты центра ядра р п (суммирования по всем протонам и нейтронам). Поскольку число протонов в ядре есть Z, то окончательно оператор дипольного момента должен быть заменен согласно 1)~В случае электронов в атоме такое затруднение вообще не возникало, так как неподвижность центра инерции автоматически обеспечивалась его совпадением с положением неподвижного тяжелого ядра. § 118 МОДЕЛЬ ОБОЛОЧЕК 585 Протоны входят сюда с «эффективным зарядом» еA — Z/A), а нейтроны—с «зарядом» — eZ/A. Отметим, что относительный порядок величины возникающих при вычислении дипольного момента поправочных членов оказывается, как видно из A18.2), порядка 1. Поправки же при вычислении магнитных и следую- щих электрических мультипольных моментов оказываются, как легко увидеть, относительного порядка ~ 1/А. В нерелятивистском приближении взаимодействие нуклона с самосогласованным полем не зависит от спина нуклона: та- кая зависимость могла бы выражаться лишь членом, пропорци- ональным &п, где п — единичный вектор в направлении радиу- са-вектора нуклона г; но это произведение является не истин- ным, а псевдоскаляром. Зависимость энергии нуклона от его спина появляется, од- нако, при учете релятивистских членов, зависящих от скорости частицы. Наибольшим из них является член, пропорциональный первой степени скорости. Из трех векторов s, n и v можно со- ставить истинный скаляр: [nv]s. Поэтому оператор спин-орби- тальной связи нуклона в ядре имеет вид V8i = -?>®[nv]s, A18.3) где if ® —некоторая функция от г (ср. также примеч. на с. 579). Поскольку mp[rv] есть орбитальный момент Ш частицы, то вы- ражение A18.3) можно написать также и в виде Vai = -/®Ts, A18.4) где / = Нср/ггпр. Подчеркнем, что это взаимодействие — перво- го порядка по г;/с, между тем как спин-орбитальная связь элек- трона в атоме—эффект второго порядка (§72); это отличие связано с тем, что ядерные силы зависят от спина уже в нере- лятивистском приближении, в то время как нерелятивистское взаимодействие электронов (кулоновы силы) от спинов не зави- сит. Энергия спин-орбитального взаимодействия сосредоточена в основном вблизи поверхности ядра, т.е. функция /(г) убы- вает в глубь ядра. Действительно, в неограниченном ядерном веществе взаимодействие такого вида вообще не могло бы су- ществовать, как это ясно уже из того, что ввиду однородности такой системы в ней отсутствует какое-либо выделенное напра- вление, вдоль которого мог бы быть направлен вектор п. Взаимодействие A18.4) приводит к расщеплению уровня нук- лона с орбитальным моментом / на два уровня с моментами j = 586 СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА = I ± 1/2. Поскольку Is = 1/2 при j = 1 + 1/2, ls = -(Z + l)/2 при j = 1-1/2 { '' (по формуле C1.3)), то величина этого расщепления АЕ = Et_1/2 - El+1/2 = f®(l + 1/2). A18.6) Опыт показывает, что уровень j = I + 1/2 (параллельные векто- ры Ins) оказывается глубже уровня с j = / — 1/2; это значит, что функция /(г) > 0. Спин-орбитальная связь нуклона в ядре относительно слаба по сравнению с его взаимодействием с самосогласованным по- лем. В то лее время оно оказывается, вообще говоря, большим по сравнению с энергией прямого взаимодействия двух нукло- нов в ядре, в результате более быстрого убывания последнего с увеличением атомного веса. Такое соотношение между энергиями различных взаимо- действий приводит к тому, что классификация ядерных уров- ней должна происходить по типу jjf-связи: спины и орбиталь- ные моменты каждого нуклона складываются в полные момен- ты j = 1 + s, оказывающиеся определенными величинами, по- скольку связь между 1 и s не разрушается прямым взаимодей- ствием частиц между собой (М. Goppert-Mayer, 1949; О. Haxel, J. H. Jensen, Н. Е. Suess, 1949)г). Векторы j отдельных нукло- нов складываются затем в суммарный момент ядра J (кото- рый обычно называют просто спином ядра, как если бы ядро представляло собой элементарную частицу). В этом отноше- нии классификация ядерных уровней существенно отличается от классификации атомных уровней: в электронной оболочке атома релятивистская спин-орбитальная связь, вообще говоря, мала по сравнению с прямым электрическим и обменным вза- имодействиями, и потому классификация уровней происходит обычно по типу Ьб'-связи. Состояние каждого нуклона в ядре характеризуется его мо- ментом j и его четностью. Хотя каждый из его векторов 1 и s в отдельности не сохраняется, однако абсолютная величина орбитального момента нуклона тем не менее оказывается опре- деленной. Действительно, момент j может возникнуть либо из состояния с / = j — 1/2, либо из состояния с / = j + 1/2. При за- данном значении j (полуцелом) оба эти состояния имеют разную четность (—1) , а потому заданием j и четности определяется и квантовое число /. 1) Лишь для самых легких ядер связь более близка к Ьб'-типу. § 118 МОДЕЛЬ ОБОЛОЧЕК 587 Состояния нуклонов с одинаковыми ! и j принято нумеро- вать (в порядке увеличения энергии) «главным квантовым чис- лом» п, пробегающим целые значения, начиная с 11). Различные состояния обозначают символами lsi/2, lPi/2? 1Рз/2 и т-п-5 гДе цифра перед буквой есть главное квантовое число, буквы s, ?>, с?, ...указывают обычным образом значение /, а индекс у бу- квы— значение j. В состоянии с заданными значениями п, /, j может одновременно находиться не более 2j + 1 нейтронов и столько лее протонов. Характеристики состояния ядра в целом (при заданной кон- фигурации) принято записывать в виде цифры, дающей значе- ние J, с индексом + или —, указывающим четность состояния (последняя определяется в модели оболочек четностью или не- четностью алгебраической суммы значений / всех нуклонов). В результате анализа экспериментальных данных о свойствах ядер оказывается возможным установить ряд закономерностей в расположении ядерных уровней. Прежде всего оказывается, что энергия уровней нуклона воз- растает с увеличением орбитального момента /. Это правило связано с тем, что с увеличением / возрастает центробежная энергия частицы, а потому уменьшается ее энергия связи. Далее, при заданном значении / уровень с j = I + 1/2 (т. е. отвечающий параллельным векторам Ins) лежит глубже, чем уровень с j = 1 — 1/2. Это правило уже упоминалось выше в связи со свойствами спин-орбитальной связи нуклона в ядре. Следующее правило относится к изотопическому спину ядер. Напомним, что проекция Т^ изоспина определяется уже весом и номером ядра (см. A16.1)). При заданном значении Т^ абсолют- ная величина изоспина может иметь любые значения, удовлетво- ряющие неравенству Г ^> \Т^\. Обычно основное состояние ядра имеет наименьшее из этих допустимых значений изоспина, т. е. TOCB = \TC\ = A/2){N-Z). A18.7) Это правило связано с характером взаимодействия нейтрона с протоном, — с тем, что в системе пр состояние с изоспином Т = 0 (состояние нейтрона) имеет большую энергию связи, чем состояние с Г = 1 (см. примеч. на с. 580). Можно также сформулировать некоторые правила, относя- щиеся к спинам основных состояний ядер. Эти правила опреде- ляют, каким образом моменты j отдельных нуклонов складыва- ются в общий спин ядра. Они являются проявлением стремления протонов и нейтронов, находящихся в ядре в одинаковых состо- г) В отличие от принятого для электронных уровней в атоме условия, по которому число п пробегает значения, начинающиеся с / + 1. 588 СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА яниях, к попарному (рр и пп) «спариванию» со взаимно проти- воположными моментами (энергия связи таких пар составляет величину порядка 1-2 МэВ). Это явление приводит, например, к тому, что если ядро содержит четное число как протонов, так и нейтронов (чет- но-четные ядра), то моменты всех нуклонов попарно компенси- руются, так что общий момент ядра обращается в нуль. Если ядро содержит нечетное число протонов или нейтро- нов, причем все нуклоны сверх заполненных оболочек находят- ся в одинаковых состояниях, то обычно полный момент ядра совпадает с моментом одного нуклона — как если бы после спа- ривания всех возможных пар протонов и нейтронов оставался всего один нуклон с некомпенсированным моментом (полные же моменты заполненных оболочек автоматически равны нулю). Для нечетно-нечетных же ядер (нечетные Z и N) нет како- го-либо достаточно общего правила, определяющего спин основ- ного состояния. Рассмотрение конкретного хода заполнения оболочек в ядрах требовало бы детального анализа имеющихся экспери- ментальных данных и выходит за рамки этой книги. Мы огра- ничимся здесь лишь еще некоторыми общими указаниями. При изучении свойств атомов мы видели, что электронные состояния в них можно разбить на группы такие, что при за- полнении каждой из них и переходе к следующей энергия свя- зи электрона падает. Аналогичная ситуация имеет место для ядер, причем нуклонные состояния распределяются по следую- щим группам: lsi/2 2 нуклона, lP3/2> lPl/2 6 НуКЛОНОВ, Ы5/2, Ы3/2, 2s1/2 12 нуклонов, 1/7/2, 2?>3/2, 1/5/2, 2р1/2, lgg/2 30 НуКЛОНОВ, ^ ' > 2с?5/2> lgY/2? l^ii/2? 2с?з/2> 3si/2 32 нуклона, 2/7/2, 1^9/2, 1^3/2, 2/5/2, Зрз/2, Зр1/2 44 нуклона. Для каждой группы указано полное число протонных или ней- тронных вакансий. Соответственно этим числам заполнение ка- кой-либо из групп заканчивается, когда полное число протонов Z или нейтронов N в ядре равно одному из следующих чисел: 2,8,20,50,82,126. Эти числа принято называть магическими1). 1) Состояния I/7/2 с их 8 вакансиями иногда выделяют в особую группу, в соответствии с тем, что и число 28 в известной степени обладает свойствами магических чисел. § 118 МОДЕЛЬ ОБОЛОЧЕК 589 Особой устойчивостью обладают так называемые дважды магические ядра, в которых как Z, так и N являются магиче- скими числами. По сравнению с близкими к ним ядрами они обладают аномально малым сродством к еще одному нуклону, а их первые возбужденные уровни лежат аномально высоко1). Различные состояния в каждой из групп A18.8) перечислены примерно в порядке их постепенного заполнения в ряду ядер. В действительности при этом заполнении наблюдаются значи- тельные иррегулярности. Кроме того, надо иметь в виду, что в тяжелых ядрах (далеких от магических) расстояния между различными уровнями могут оказаться сравнимыми с «энергией спаривания»; в этих условиях само понятие индивидуальных со- стояний компонент пары в значительной степени теряет смысл. Сделаем некоторые замечания по поводу вычисления маг- нитного момента ядра в модели оболочек. Говоря о магнитном моменте ядра, мы подразумеваем, естественно, магнитный мо- мент, усредненный по движению частиц в ядре. Этот средний магнитный момент \i направлен, очевидно, вдоль спина ядра J, направление которого является единственным выделенным на- правлением в ядре; поэтому его оператор Jl = MogJ, (П8.9) где /io—ядерный магнетон, a g—гиромагнитный множитель. Собственное значение проекции этого момента JIZ = jj^ogMj. Обычно (ср. A11.1)) под магнитным моментом /i, ядра понима- ют просто максимальное значение его проекции, т. е. \i = /J^ogJ] с таким обозначением _ ^ (I=/z(J/J). A18.10) Магнитный момент ядра складывается из магнитных момен- тов нуклонов, находящихся вне заполненных оболочек, посколь- ку моменты нуклонов в заполненных оболочках взаимно ком- пенсируются. Каждый нуклон создает в ядре магнитный мо- мент, складывающийся из двух частей: спиновой и (в случае протона) орбитальной, т.е. представляющийся суммой ggis + g/l. (Здесь и ниже мы опускаем множитель /io, подразумевая, как это обычно делается, что магнитные моменты измерены в еди- ницах ядерного магнетона.) Орбитальный и спиновый гиромаг- нитные множители равны: g/ = 1, gs = 5,585 для протона и gi = 0, gs = —3,826 для нейтрона. г) Таковы 2Нв2, 1|О8, 2оСа2о, 282Pbi26; ядро 4Не вообще неспособно присо- единить к себе еще один нуклон (справа внизу указано значение числа N в ядре). 590 СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА После усреднения по движению нуклона в ядре, его магнит- ный момент становится пропорциональным j; написав его в виде gjj, имеем _ gj3 = g5s + g/T= -(g/+g5)j + -(gi -ge)(T-s). Умножив обе части этого равенства на j = 1 + 1з и переходя к собственным значениям, получим gjjti + 1) = \(el + gs)j(J + l) + \{gl- gs)[l{l + 1) - S(S + 1)], а положив здесь s = 1/2, j = / ± 1/2, найдем gi = g,±!^ при j = Z ± 1/2. A18.11) С указанными выше значениями гиромагнитных множителей это дает для магнитного момента протона /лр = gjj: 7 J при ^'-Vz, A18Л2) /ip = j + 2,29 при j = 1 + 1/2 и для магнитного момента нейтрона ^ = j^J при j = 1-1/2. ^п = -1,91 при j = 1 + 1/2 (T.Schmidt, 1937). Если вне заполненных оболочек имеется всего один нуклон, формулы A18.12) или A18.13) непосредственно дают магнитный момент ядра. Для двух нуклонов сложение их магнитных мо- ментов тоже производится элементарно (см. задачу 1). В слу- чае большего числа нуклонов усреднение магнитного момента должно производиться с помощью волновой функции системы, должным образом составленной из индивидуальных волновых функций нуклонов. Задание нуклонной конфигурации и состоя- ния ядра в целом позволяют сделать это однозначным образом в тех случаях, когда данной конфигурации может соответство- вать всего одно состояние системы с заданными значениями J и Т (см., например, задачу 3); в противном случае состояние яд- ра представляет собой смесь нескольких независимых состояний (с одинаковыми J, Г) и, вообще говоря, остаются неизвестны- ми коэффициенты в линейной комбинации, дающей волновую функцию ядра1). ) Отметим, однако, что точность «одночастичной» схемы вычисления магнитных моментов ядер фактически оказывается невысокой. Пары значе- ний A18.12) и A18.13) оказываются скорее верхним и нижним пределами, чем точными значениями моментов. § 118 МОДЕЛЬ ОБОЛОЧЕК 591 Наконец укажем, что наличие спин-орбитальной связи нук- лонов в ядре приводит к появлению у протонов в ядре неко- торого дополнительного (по отношению к A18.9)) магнитного момента (М. Goppert-Mayer, J.H. Jensen, 1952). Дело в том, что при явной зависимости оператора взаимодействия от скорости частицы переход к случаю наличия внешнего поля совершает- ся путем замены оператора импульса согласно р —>• р — (е/с)А. Производя эту замену в A18.3) и воспользовавшись выражени- ем A11.7) для векторного потенциала, найдем, что в гамильто- ниане протона появляется дополнительный член Такой член эквивалентен возникновению дополнительного маг- нитного момента с оператором Ддоп = -^/®[r[sr]] = --l-r2/®{s _ (sn)n}. A18.14)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Модель оболочек» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
