При равном нулю спине волновая функция имеет всего одну компоненту: ф@). При воздействии оператора спина она обра- щается в нуль: s"^ = 0. Ввиду связи 1з с оператором бесконечно малых поворотов, это значит, что волновая функция частицы с нулевым спином не меняется при поворотах системы координат, т. е. является скаляром. Волновая функция частицы со спином 1/2 имеет две компо- ненты: фA/2) и ф(—1/2). Для удобства дальнейших обобщений будем отличать эти компоненты соответственно индексами 1 и 2, написанными у буквы сверху; двухкомпонентную величину _ Л/Л _ Ф 2) = называют спинором. При произвольном повороте системы координат компоненты спинора подвергаются линейному преобразованию ф1' = аф1 + Ъф2, ф2' = сф1 + Aф2. E6.2) Его можно записать в виде 4>х' = (пф)\ и = [ас J), E6.3) где U — матрица преобразования1). Элементы этой матрицы, во- обще говоря, комплексны и являются функциями углов пово- рота осей координат. Они связаны друг с другом соотношени- ями, непосредственно следующими из физических требований, предъявляемых к спинору, как к волновой функции частицы. Рассмотрим билинейную форму фг(р2 -ф2(р\ E6.4) где ф и ср — два спинора. Простое вычисление дает ф1Г<р2' - ф2'<р1Г = (ad - Ьс)(ф1ср2 - ф2ср1), т. е. величина E6.4) при повороте системы координат преобра- зуется сама через себя. Но если имеется всего одна преобразую- щаяся сама через себя функция, то она может рассматриваться ) Запись иф предполагает перемножение строк матрицы U со столбцом ф. § 56 спиноры 259 как соответствующая спину нуль и, следовательно, должна быть скаляром, т. е. должна вообще оставаться неизменной при пово- ротах системы координат. Отсюда получаем равенство ad — be = 1; E6.5) определитель матрицы преобразования равен единицех). Дальнейшие соотношения возникают из требования, чтобы было скаляром выражение фхфи +ф2ф2\ E6.6) определяющее вероятность нахождения частицы в данной точке пространства. Преобразование, оставляющее инвариантной сум- му квадратов модулей преобразуемых величин, есть унитарное преобразование, т. е. должно быть С/+ = U~1 (см. § 12). При усло- вии E6.5) обратная матрица \-с а ) Приравняв ее сопряженной матрице найдем соотношения a = d\ Ъ=-с*. E6.7) В силу соотношений E6.5) и E6.7) четыре комплексные ве- личины а, ft, с, d содержат в действительности всего три незави- симых вещественных параметра, что соответствует трем углам, определяющим поворот трехмерной системы координат. Сравнив выражения скаляров E6.4) и E6.6), мы видим, что величины /01*, Ф^* должны преобразовываться как ф2, —ф1] лег- ко проверить, что в силу соотношений E6.5) и E6.7) это дей- ствительно так2). Алгебре спиноров можно придать форму, аналогичную тен- зорной алгебре. Это достигается введением, наряду с контра- вариантными компонентами спинора ф1, ф2 (индексы сверху), 1) Такое преобразование двух величин называют бинарным. 2) Это свойство тесно связано с симметрией по отношению к обращению времени. Последнему соответствует (см. § 18) замена волновой функции на ее комплексно сопряженную. Но при обращении времени меняют знак так- же и проекции момента. Поэтому функции, комплексно сопряженные ком- понентам ф1 = фA/2) и ф2 = ф(—1/2), по своим свойствам должны быть эквивалентны компонентам, отвечающим соответственно проекциям спина -1/2 и 1/2. 260 СПИН ГЛ. VIII также и ковариантных компонент (индексы снизу) согласно определению Фх = Ф\ Фг = -Ф1- E6.8) Инвариантная комбинация двух спиноров E6.4) запишется тогда в виде скалярного произведения фхсрх = v>Vi + Ф2ч>2 = Ф1^2 - ^ V; E6.9) здесь и ниже по дважды повторяющимся (немым) индексам под- разумевается суммирование подобно тому, как это принято в тензорной алгебре. Заметим следующее правило, которое надо иметь в виду в спинорной алгебре. Имеем фХ(р\ = ф1(^\ +ф2ср2 = = -фъф2 - Фх^1 -> т.е. фХ<Р\ = -Ф\РХ. E6.10) Отсюда очевидно, что скалярное произведение всякого спинора самого на себя равно нулю: фхфх = 0. E6.11) Согласно сказанному выше величины ф\, ip2 преобразуются как фи, ф2*, т.е. Ф'х = (?»а. E6.12) Произведение Ь*ф можно написать также и в виде ipU* с транс- понированной матрицей С/*. Ввиду унитарности матрицы U име- ем С7* = С/, так что ^д = (/0^"~1)а или1) Фх = (Ф'Юх- E6.13) Подобно переходу от векторов к тензорам в обычной тензор- ной алгебре, можно ввести понятие о спинорах высших рангов. Так, спинором второго ранга назовем четырехкомпонентную величину фх^, компоненты которой преобразуются как произве- дения фхср^ компонент двух спиноров (спиноров первого ранга). Наряду с контравариантными компонентами фх^ можно рас- сматривать ковариантные ф\^ и смешанные ф\^ компоненты, преобразующиеся соответственно как фх^р^ и ф\(р^. Аналогич- ным образом определяются спиноры любого ранга. х) Запись вида фи (ф слева от U) означает перемножение расположенных в строку компонент (^1,^2) со столбцами матрицы U. §56 спиноры 261 Переход от контра- к ковариантным компонентам спиноров и обратно молено представить в виде *P\ = g\^, VA = gMVv, E6.14) где (Л J = (Л J) E6.15) — метрический спинор в векторном пространстве двух измере- ний1) . Таким же образом имеем, например, так что ipi2 = —ф\ = — ф21, фи = ф\ = ф22 и т. п. Сами gx^ составляют антисимметричный единичный спинор второго ранга. Легко убедиться в том, что при преобразованиях координат его компоненты остаются неизменными и что gx,g^ = S^ E6.16) где 8{ = 8l = l, 8\ = 8f = 0. Как и в обычной тензорной алгебре, в спинорной алгебре имеются две основные операции — умножение и упрощение (или свертывание) по паре индексов. Умножение двух спиноров да- ет спинор более высокого ранга; так, из двух спиноров второго и третьего рангов и фх^ и фирсг можно образовать спинор пято- го ранга фх^ф"*3*7. Упрощение по паре индексов (т.е. суммиро- вание компонент по одинаковым значениям одного ко- и одно- го контравариантного индексов) понижает ранг спинора на две единицы. Так, упрощение спинора фх^ра по индексам \i и v да- ет спинор третьего ранга фх^р<Т\ упрощение спинора фх^ дает скаляр фх • При этом имеет место правило, аналогичное выра- жаемому формулой E6.10): если переменить положения (верхнее и нижнее) индексов, по которым производится упрощение, то изменится знак величины (т.е. фхХ = —фХх)- Отсюда, в частно- сти, следует, что если спинор симметричен по каким-либо двум своим индексам, то в результате упрощения по этим индексам получим нуль. Так, для симметричного спинора второго ран- га фхп имеем фхХ = 0. Симметричным спинором п-го ранга назовем спинор, сим- метричный по всем своим индексам. Из асимметричного спинора можно составить симметричный спинор путем симметризации — суммированием компонент, получающихся при всех возможных перестановках индексов. В силу сказанного выше из компонент г) Заметим, что матрица E6.15) совпадает с гЭу. 262 СПИН ГЛ. VIII симметричного спинора невозможно составить (путем упроще- ния) спинор более низкого ранга. Что касается антисимметричного (по всем своим индексам) спинора, то таковым может быть только спинор второго ран- га. Действительно, поскольку каждый индекс может пробегать всего два значения, то при трех или большем числе индексов по крайней мере два индекса будут иметь одинаковые значения, а потому компоненты спинора тождественно обратятся в нуль. Всякий антисимметричный спинор второго ранга сводится к ска- ляру, умноженному на единичный спинор gx^. Отметим здесь следующее, вытекающее из сказанного, соотношение: g\y$v + g/xi/^A + gi/A^/x = 0, E6.17) где ф\ —произвольный спинор; это правило является следствием просто того, что стоящее в левой части равенства выражение представляет собой (как легко проверить) антисимметричный спинор третьего ранга. Спинор, составленный как произведение спинора фх/л на са- мого себя, упрощенный по одной паре индексов, антисимметри- чен по другой; действительно, Ф\уФ^ = -Ф\иф^' Поэтому в силу сказанного выше этот спинор должен сводиться к спинору gx/л, умноженному на скаляр. Определяя последний так, чтобы упрощение по второй паре индексов давало правильный результат, найдем ФхиФ»и = -(l/2)V^gA^- E6.18) Компоненты спинора ф^ , комплексно сопряженного со спинором фхц...1 преобразуются как компоненты контравари- антного спинора (/? ^", и наоборот. Сумма квадратов модулей компонент любого спинора является, следовательно, инвариан- том.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Спиноры» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
