Особого рассмотрения заслуживает случай, когда в каче- стве возмущения может рассматриваться полная потенциальная энергия частицы во внешнем поле. Невозмущенное уравнение Шредингера есть тогда уравнение свободного движения части- цы 0) к D51) и имеет решениями плоские волны. Энергетический спектр сво- бодного движения непрерывен, так что мы имеем дело со свое- образным случаем теории возмущений в непрерывном спектре. Решение задачи удобнее получить здесь непосредственно, не прибегая к общим формулам. Уравнение для поправки ф^ первого приближения к волно- вой функции гласит: Аг!>Ы + к2фМ = ^фМ D5.2) (U — потенциальная энергия). Решение этого уравнения, как из- вестно из электродинамики, может быть написано в виде «запаз- дывающих потенциалов», т.е. в виде1) dV = dxf dyf dzf, r2 = (x - ж'J + (У ~ У'? + (z~ z'f- Выясним, каким условиям должно удовлетворять поле U для того, чтобы его можно было рассматривать как возмущение. Условие применимости теории возмущений заключается в тре- бовании ф^ ^С ф(°\ Пусть а есть порядок величины размеров области пространства, в котором поле заметно отличается от нуля. Предположим сначала, что энергия частицы настолько ма- ла, что ак меньше или порядка единицы. Тогда множитель е в подынтегральном выражении в D5.3) несуществен при оценке порядка величины, и весь интеграл будет порядка ip^\U\a2, так что ф^ ~ (та2\и\/1п?)ф^)\ и мы получаем условие 1^1 < "^2 приЫ<1. D5.4) та ) Это есть частный интеграл уравнения D5.2), к которому может быть прибавлено еще любое решение уравнения без правой части (т. е. невозму- щенного уравнения D5.1)). 204 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VI Отметим, что выражение Н2/то? имеет простой физический смысл—это есть порядок величины кинетической энергии, ко- торой обладала бы частица, заключенная в объеме с линейными размерами а (поскольку, согласно соотношению неопределенно- сти, ее импульс был бы ~ Н/а). Рассмотрим, в частности, потенциальную яму настолько не- глубокую, что для нее выполняется условие D5.4). Легко видеть, что в такой яме не существует отрицательных уровней энергии (R. Peierls, 1929); мы видели это уже в задаче к § 33 для частно- го случая сферически-симметричной ямы. Действительно, при Е = 0 невозмущенная волновая функция сводится к постоянной, которую можно условно принять равной единице: ф^ = 1. По- скольку ф^ <С ф^\ то ясно, что волновая функция движения в яме, ф = 1 + ^ , нигде не обращается в нуль; собственная же функция, не имеющая узлов, относится к нормальному состоя- нию, так что Е = 0 остается наименьшим возможным значением энергии частицы. Таким образом, если яма недостаточно глубока, то возможно только инфинитное движение частицы — частица не может «за- хватиться» ямой. Обратим внимание на то, что этот результат имеет специфически квантовый характер — в классической ме- ханике частица может совершать финитное движение в любой потенциальной яме. Необходимо подчеркнуть, что все сказанное относится толь- ко к трехмерной яме. В одно- и двумерной яме (т. е. в которой поле есть функция только от одной или двух координат) всегда имеются уровни отрицательной энергии (см. задачи к этому па- раграфу). Это связано с тем, что в одно- и двумерном случаях рассматриваемая теория возмущений вообще неприменима при равной нулю (или очень малой) энергии Е1). В случае больших энергий, когда ка ^ 1, множитель егкг в подынтегральном выражении играет существенную роль, силь- но уменьшая величину интеграла. Решение D5.3) может быть х) В двумерном случае ф^ выражается (как известно из теории двумер- ного волнового уравнения) в виде аналогичного D5.3) интеграла, в котором гкг вместо dx dydz стоит тН^ \kr)dx' dy' (Hq ' — функция Ганкеля), а г = \/(х' — хJ + (у' — уJ. При к —>> 0 функция Ганкеля, а с нею и весь интеграл стремятся логарифмически к бесконечности. Аналогично, в одномерном случае под знаком интеграла, определяющего ip^i стоит 2тгг dx' (где г = \х' — х\) и при к —> 0 ф^ стремится к к бесконечности, как 1/к. § 45 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ КАК ВОЗМУЩЕНИЕ 205 в этом случае преобразовано к другому виду, для вывода ко- торого, однако, удобнее обратиться непосредственно к уравне- нию D5.2). Выберем направление невозмущенного движения в качестве оси х\ тогда невозмущенная волновая функция имеет вид ф^ = егкх (постоянный множитель условно полагаем рав- ным единице). Ищем решение уравнения Н в виде фA' = е /, причем ввиду предполагаемой большой вели- чины к достаточно сохранить в Аф^ только те члены, в которых дифференцируется (хотя бы один раз) множитель егкх. Тогда мы получим для / уравнение дх П2 откуда гт jkx Оценка этого интеграла дает 1^ | ~ m\U\a/fJ?k, так что условием применимости теории возмущений в этом случае будет \U\ <С —^ка = —, ка^> 1 D5.6) та а (v = kh/m — скорость частицы). Обратим внимание на то, что это условие — более слабое, чем D5.4). Поэтому, если можно рас- сматривать поле как возмущение при малых энергиях частицы, то это во всяком случае возможно и при больших энергиях, меж- ду тем как обратное, вообще говоря, не имеет места1). Применимость развитой здесь теории возмущений к кулоно- ву полю требует особого рассмотрения. В поле U = а/г нельзя выделить конечной области пространства, вне которой U было бы значительно меньше, чем внутри нее. Искомое условие мож- но получить, написав в D5.6) переменное расстояние г вместо параметра а; это приводит к неравенству f « 1. D5.7) 1) В одномерном случае условие применимости теории возмущений дается неравенством D5.6) при всех ка. Вывод условия D5.4), проведенный выше для трехмерного случая, в одномерном случае невозможен ввиду отмечен- ной в примеч. на с. 204 расходимости построенной таким способом функ- ции ^\ 206 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VI Таким образом, при больших энергиях частицы кулоново поле можно рассматривать как возмущениег). Наконец, выведем формулу, приближенно определяющую волновую функцию частицы с энергией Е, везде значительно превышающей потенциальную энергию U (выполнения каких- либо других условий при этом не требуется). В первом прибли- жении зависимость волновой функции от координат такая же, как и для свободного движения (направление которого выбе- рем в качестве оси х). Соответственно этому, ищем ф в виде ф _ ет>кхр^ Где р есть функция координат, меняющаяся мед- ленно по сравнению со множителем егкх (о ней, однако, нельзя, вообще говоря, утверждать, что она близка к единице). Подста- вляя в уравнение Шредингера, получим для F уравнение f = f?№' D5.8, ф = eikxF = const -e^expf-— fudx). D5.9) V Hv J ) откуда Это и есть искомое выражение. Следует, однако, иметь в виду, что оно неприменимо на слишком больших расстояниях. В урав- нении D5.8) опущен член AF, содержащий вторые производ- ные от F. Производная d2F/dx2, вместе с первой производной dF/dx, стремится на больших расстояниях к нулю. Производ- ные же по поперечным координатам у, z к нулю не стремятся, и пренебрежение ими возможно лишь при условии х <С ко?.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Потенциальная энергия как возмущение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
