Плоская волна <фр = const • exp ( — pr ] описывает стационарное состояние, в котором свободная ча- стица обладает определенным импульсом р (и энергией Е = = р2/2т). Рассмотрим теперь такие стационарные состояния свободной частицы, в которых она обладает, наряду с энергией, определенными величиной и проекцией момента. Вместо энергии нам будет удобно ввести волновой вектор ^Ё C3.1) Н Н Волновая функция состояния с моментом / и его проекцией т имеет вид *l>klm = Rkl®Ylm(e,(p), C3.2) где радиальная функция определяется уравнением o (зз.з) (уравнение C2.8) без U®). Волновые функции фыт-, относя- щиеся к непрерывному (по к) спектру, удовлетворяют условиям нормировки и взаимной ортогональности: (к' — к\ 27г у Взаимная ортогональность при различных /, V и т, т! обеспечи- вается угловыми функциями. Радиальные же функции должны § 33 СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 141 быть нормированы условием ОО I r2RmRkl dr = S(^—^) = 2Щк' - к). C3.4) о Если нормировать волновые функции не «по шкале &/2тг», а «по шкале энергии», т. е. условием ОО /¦ о то, согласно общей формуле E.14), C3'5) При / = 0 уравнение C3.3) можно написать в виде f k2rRk0 = 0; dr его решение, конечное при г = 0 и нормированное условием C3.4) (ср. B1.9)), есть Rk0 = 2^L. C3.6) Для решения уравнения C3.3) с / ф 0 делаем подстановку: Rid = rlXki- C3.7) Для хы будем иметь уравнение xli + 2-^х'к1 + к\к1 = о. Если продифференцировать это уравнение по г, то получим Хы Н ~—Хы + у* ~2—J Хы — и- Подстановкой х'ы = rXk,l+i OHO приводится к виду XW+i + ^xi.i+1 + k2XW = 0, действительно совпадающему с тем, которому должна удо- влетворять функция Хк,1+1 Таким образом, последовательные функции хы связаны друг с другом соотношением Х C3-8) 142 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ ГЛ. V а потому Хы = i — -^— I Хко, где Хко — Rko определяется формулой C3.6) (это выражение может быть, разумеется, умножено еще на произвольную по- стоянную). Таким образом, окончательно находим следующее выраже- ние для радиальных функций свободного движения частицы: Rkl = (-1) * 2-у I —- I C3.9) к \rdrJ г (множитель к~1 введен для нормировки—см. ниже; множитель (—1) —из соображений удобства). Функции C3.9) могут быть выражены через функции Бесселя полуцелого порядка: Rkl = J^Ji+i/2(kr) = 2kji{kr); C3.10) вводимые в этой связи функции +V^) C3.11) называют сферическими функциями Бесселя1). Для получения асимптотического выражения радиальной функции C3.9) на больших расстояниях замечаем, что член, наименее быстро убывающий с г при г —>> ос, получается при /-кратном дифференцировании синуса. Поскольку каждое диф- ференцирование, —d/dr, синуса прибавляет член —тг/2 в его аргументе, то получаем следующее асимптотическое выражение: RM « -sin(fcr- -). C3.12) Нормировку функций Rki можно производить по их асимп- тотическим выражениям, как это было объяснено в §21. Срав- нив асимптотическую формулу C3.12) с нормированной функ- цией Rko C3.6), видим, что функции Rki с выбранным в C3.9) коэффициентом действительно нормированы должным образом. 1) Первые несколько функций ji '• sin x . sin x cos x . /3 1 \ . 3 cos x Jo = , .7i = — > 32= [—- -)smx —. X XX ^X X' X В литературе встречается также определение функций ji, отличающееся от C3.11) множ:ителем х. § 33 СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 143 Вблизи начала координат (малые г) находим, разложив sin кг в ряд и сохранив только член, дающий после дифференцирова- ний наиболее низкую степень г1): /l_d \rdr 1 d\l( у (krJl+1 ) rB/ + l)! B/ + 1)!! ' Таким образом, вблизи начала координат функции R^i имеют вид Ru « ^/ C3.13) в согласии с общим результатом C2.15). В некоторых задачах (в теории рассеяния) приходится рас- сматривать волновые функции, не удовлетворяющие обычным условиям конечности, а соответствующие потоку частиц, выле- тающих из центра или, напротив, падающих на него. Волновая функция, описывающая такой поток частиц с моментом / = О, получится, если взять вместо стоячей сферической волны C3.6) решение в виде расходящейся (R^o) или сходящейся (Що) сфе- рической волны: i& = ~re±ikr. C3.14) В общем случае для отличного от нуля момента / получим решение уравнения C3.3) в виде Эти функции могут быть выражены через функции Ганкеля r) C3.16) (первого и второго рода — соответственно для знаков + и —). Асимптотическое выражение функции C3.15) . C3.17) Вблизи же начала координат она имеет вид R%*A^P±r-l-\ C3.18) 1) Знак !! означает произведение всех чисел одинаковой четности до дан- ного включительно. 144 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ ГЛ. V Нормируем эти функции так, чтобы они соответствовали испусканию (или поглощению) в единицу времени одной части- цы. Для этого заметим, что на больших расстояниях сфериче- ская волна в каждом небольшом участке может рассматривать- ся как плоская и плотность потока в ней равна j = vipip*, где v = kh/m — скорость частиц. Нормировка определяется услови- ем § j df = 1, где интегрирование производится по сферической поверхности большого радиуса г, т.е. f jr2 do = 1, где do —эле- мент телесного угла. Оставляя нормировку угловых функций прежней, мы должны, следовательно, положить коэффициент А в радиальной функции равным Асимптотическое выражение, аналогичное C3.12), имеет ме- сто не только для радиальной части волновой функции свобод- ного движения, но и при движении (с положительной энергией) в любом поле, достаточно быстро убывающем с расстоянием1). На больших расстояниях можно пренебречь в уравнении Шре- дингера как полем, так и центробежной энергией, и остается приближенное уравнение ld2(rRkl) dr 2 \-к Kki = U. Общее решение этого уравнения и 2am(ibr где 5— постоянная (фазовый сдвиг), а общий множитель вы- бран в соответствии с нормировкой волновой функции «по шка- ле к/2п»2). Постоянная фаза 5i определяется граничным усло- вием (конечность R^i при г —>> 0), при котором должно решаться точное уравнение Шредингера, и не может быть вычислена в общем виде. Фазы 5i являются, разумеется, функциями как от /, так и от к и представляют собой существенную характеристику собственных функций непрерывного спектра.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Сферические волны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
