Для определения собственных значений проекции момента импульса частицы на некоторое направление удобно воспользо- ваться выражением для ее оператора в сферических координа- тах, выбрав полярную ось вдоль рассматриваемого направления. Согласно формуле B6.14) уравнение lzip = lzi/; запишем в виде -i§J=W. B7.1) § 27 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МОМЕНТА 117 Его решение есть где /(г, #)—произвольная функция от г и в. Для того чтобы функция ф была однозначной, необходимо, чтобы она была пе- риодична по ср с периодом 2тг. Отсюда находим1) lz = m, га = 0,±1,±2,... B7.2) Таким образом, собственные значения lz равны положи- тельным и отрицательным целым числам, включая значение нуль. Зависящий от ср множитель, характерный для собствен- ных функций оператора lz, обозначим через ^ B7-3) Эти функции нормированы так, что 2тг B7.4) /¦ Собственные значения ^-компоненты полного момента систе- мы, очевидно, тоже равны положительным и отрицательным це- лым числам: Т ^ Т ^ Т ^ ,, ,^ /^ ^ч LZ = M, M = 0,±1,±2,... B7.5) (это следует из того, что оператор Lz есть сумма коммутативных друг с другом операторов lz для отдельных частиц). Поскольку направление оси z заранее ничем не выделено, то ясно, что тот же результат получится для 1/ж, Ly, и вообще для составляющей момента по любому направлению, — все они мо- гут принимать лишь целые значения. Этот результат может показаться, на первый взгляд, парадоксальным, особенно, ес- ли применить его к двум бесконечно близким направлениям. В действительности, однако, надо иметь в виду, что единственная общая собственная функция операторов Ьж, Ly, Lz соответствует одновременным значениям Lx = Ly = Lz = 0; в этом случае вектор момента импульса, а поэтому и его про- екция на любое направление равны нулю. Если же хотя бы одно 1) Общепринятое обозначение собственных значений проекции момента буквой т—той же, которой обозначается и масса частицы,— фактически не может привести к недоразумениям. 118 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГЛ. IV из собственных значений Lx, Ly, Lz отлично от нуля, то об- щих собственных функций у соответствующих операторов нет. Другими словами, не существует такого состояния, в котором две или три составляющие момента по различным направлени- ям имели бы одновременно определенные (отличные от нуля) значения, так что мы можем говорить лишь о целочисленности одной из них. Стационарные состояния системы, отличающиеся только значением М, обладают одинаковой энергией— это следует уже из общих соображений, связанных с тем, что направление оси z заранее ничем не выделено. Таким образом, энергети- ческие уровни системы с сохраняющимся (отличным от нуля) моментом во всяком случае вырожденыг). Перейдем теперь к отысканию собственных значений квад- рата момента и покажем, каким образом можно найти эти зна- чения, исходя из одних только правил коммутации B6.8). Обо- значим через фм волновые функции стационарных состояний с одинаковым значением квадрата L2, относящихся к одному вы- рожденному уровню энергии и отличающихся значением М2). Прежде всего замечаем, что поскольку оба направления оси z физически эквивалентны, то для каждого возможного положи- тельного значения М = \М\ существует такое же отрицатель- ное М = — \М\. Обозначим через L (целое положительное чис- ло или нуль) наибольшее возможное (при заданном L2) значе- ние \М\. Самый факт существования такого верхнего предела следует из того, что разность L2 — L2 = L2X + Ly есть опера- тор существенно положительной физической величины L^ + L2 ) Это обстоятельство является частным случаем указанной в § 10 общей теоремы о вырождении уровней при наличии по крайней мере двух сохра- няющихся величин с некомму тирующими операторами. Здесь такими вели- чинами являются компоненты момента. 2) Здесь подразумевается, что нет никакого дополнительного вырождения, приводящего к одинаковости значений энергии при различных значениях квадрата момента. Это справедливо для дискретного спектра (за исключе- нием случая так называемого «случайного вырождения» в кулоновом по- ле, см. § 36) и, вообще говоря, несправедливо для энергетических уровней непрерывного спектра. Однако и при наличии дополнительного вырожде- ния всегда можно выбрать собственные функции так, чтобы они соответ- ствовали состояниям с определенными значениями L2 и из них затем вы- брать состояния с одинаковыми значениями Е и L . Математически это выражается в том, что матрицы коммутативных операторов всегда мож- но привести одновременно к диагональному виду. В дальнейшем мы будем в аналогичных случаях для краткости говорить так, как если бы никакого дополнительного вырождения не было, имея в виду, что получаемые резуль- таты в действительности, согласно сказанному, от этого предположения не зависят. § 27 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МОМЕНТА 119 и потому его собственные значения не могут быть отрицатель- ными. ^ ^ Применив оператор LZL± к собственной функции фм опе- ратора Lz и воспользовавшись правилами коммутации B6.12), получим ^ ^ ^ ЬЬфм = (М ± 1)адм. B7.6) Отсюда видно, что функция Ь±фм есть (с точностью до норми- ровочной постоянной) собственная функция, соответствующая значению М ± 1 величины Lz Фм+i — const -Ь+фм-) Фм-\ — const -L-фм- B7.7) Если в первом из этих равенств положить М = L, то должно быть тождественно ~+^ = ^ B? g) поскольку состояний с М > L, по определению, нет. Приме- няя к этому равенству оператор L_ и воспользовавшись равен- ством B6.13), получим Ь-Ь+фь = (L2 - 1\ - Ьх)фь = 0. Но поскольку фм — общие собственные функции операторов L2 и LZl то так что полученное уравнение дает L2 = L(L + 1). B7.9) Формулой B7.9) определяются искомые собственные значе- ния квадрата момента; число L пробегает все целые положи- тельные значения, включая значение нуль. При заданном значе- нии числа L компонента Lz = М момента может иметь значения M = L,L-1,...,-L, B7.10) т. е. всего 2L + 1 различных значений. Уровень энергии, соот- ветствующий моменту L, таким образом, BL + 1)-кратно вы- рожден; об этом вырождении обычно говорят как о вырождении по направлениям момента. Состояние с равным нулю моментом, L = 0 (при этом все его три компоненты равны нулю), не вырож- дено. Отметим, что волновая функция такого состояния сфери- чески-симметрична; это ясно уже из того, что ее изменение при любом бесконечно малом повороте, даваемое выражением Ъф об- ращается в данном случае в нуль. 120 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГЛ. IV Мы будем часто говорить для краткости, как это принято, о «моменте L» системы, подразумевая при этом момент с квад- ратом, равным L{L + 1); о ^-компоненте же момента говорят обычно просто как о «проекции момента». Момент одной частицы будем обозначать малой буквой /, т. е. будем писать для нее формулу B7.9) в виде 12 = /(/ + 1). B7.11) Вычислим матричные элементы величин Lx и Ly в представ- лении, в котором, наряду с энергией, диагональны L2 и Lz (М. Born, W. Heisenberg, P. Jordan, 1926). Заметим, что посколь- ку операторы Ьж, Ly коммутативны с гамильтонианом, то их матрицы диагональны по отношению к энергии, т. е. все ма- тричные элементы для переходов между состояниями с различ- ной энергией (и различными моментами L) равны нулю. Таким образом, достаточно рассмотреть матричные элементы для пе- реходов внутри группы состояний с различными значениями М, соответствующих одному вырожденному уровню энергии. Из формул B7.7) видно, что в матрице оператора L+ от- личны от нуля только элементы, соответствующие переходам М — 1 —>> М, а в матрице оператора L- — элементы cM-fM-1. Учитывая это, находим диагональные матричные элементы в обеих частях равенства B6.13) и получаем1) L(L + 1) = (M\L+\M - 1)(М - 1|L_|M) + М2 -М. Замечая, что в силу эрмитовости операторов LXl Ly (М - 1|L_|M) = (M\L+\M - 1)*, переписываем это равенство в виде |(M|L+|M - 1)|2 = L(L + 1) - М(М - 1) = (L - М + 1)(L + М), откуда2) (M|L+|M- 1) = (М- 1|L_|M) = y/(L + M)(L-M + l). B7.12) Для отличных от нуля матричных элементов самих Lx и Ly от- сюда имеем B7.13) 1) В обозначениях матричных элементов мы опускаем для краткости все индексы, по которым они диагональны (в том числе индекс L). 2) Выбор знака в этой формуле согласован с выбором фазовых множителей в собственных функциях момента. § 28 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ МОМЕНТА 121 Обратим внимание на отсутствие диагональных элементов в матрицах величин Lx, Ly. Поскольку диагональный матричный элемент дает среднее значение величины в соответствующем со- стоянии, то это значит, что в состояниях с определенными зна- чениями Lz средние значения Lx = Ly = 0. Таким образом, если имеет определенное значение проекция момента на какое-либо направление в пространстве, то в этом же направлении лежит и весь вектор L.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Собственные значения момента» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
