Если / и g—операторы, отвечающие двум физическим ве- личинам / и g, то сумме / + g отвечает оператор / + g. Смысл сложения различных физических величин в квантовой механике, однако, существенно различен в зависимости от того, измеримы ли эти величины одновременно или нет. Если величины / и g § 4 СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ 29 одновременно измеримы, то операторы / и g имеют совместные собственные функции, которые являются в то лее время и соб- ственными функциями оператора / + g, а собственные значения последнего оператора равны суммам fn + gn. Если лее величины / и g не могут иметь одновременно опре- деленных значений, то смысл их суммы / + g более ограничен. Можно лишь утверждать, что среднее значение этой величины в произвольном состоянии равно сумме средних значений каждого из слагаемых в отдельности: f + g = f + g- D.1) Что же касается собственных значений и функций оператора / + g, то здесь они, вообще говоря, не будут иметь никакого от- ношения к собственным значениям и функциям величин / и g. Очевидно, что если операторы / и g —эрмитовы, то эрмитовым будет и оператор / + g, так что его собственные значения — ве- щественны и представляют собой собственные значения опреде- ленной таким образом новой величины / + g. Отметим следующую теорему. Пусть /о, go — наименьшие собственные значения величин /, g, а (/ + g)o — тоже для вели- чины / + g. Тогда можно утверждать, что (f + g)o>fo + go- D.2) Знак равенства имеет место, если величины / и g одновремен- но измеримы. Доказательство следует из очевидного факта, что среднее значение величины во всяком случае больше или равно ее наименьшему собственному значению. В состоянии, в котором величина (/+g) имеет значение (/+g)o? имеем (/ + g) = (/+g)o и поскольку, с другой стороны, (/ + g) = / + g ^ /o+go? мы при- ходим к неравенству D.2). Пусть теперь снова / и g — одновременно измеримые величи- ны. Наряду с их суммой можно ввести понятие и об их произве- дении как о величине, собственные значения которой равны про- изведениям собственных значений величин / и g. Легко видеть, что такой величине соответствует оператор, действие которого состоит в последовательном действии на функцию сначала од- ного, а затем другого оператора. Такой оператор изображается математически как произведение операторов / и g. Действитель- но, если Фп — общие собственные функции операторов / и g, то имеем /|ФП = /(g*n) = fgn^n = gnf^n = gnfn^n 30 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ГЛ. I (символ fg обозначает оператор, действие которого на функ- цию Ф заключается в последовательном действии сначала опе- ратора g на функцию Ф, а затем оператора / на функцию #Ф). С тем же успехом мы могли бы взять вместо оператора /g оператор g/, отличающийся от первого порядком множителей. Очевидно, что результат воздействия обоих этих операторов на функции Фп будет одинаковым. Но поскольку всякая волновая функция Ф может быть представлена в виде линейной комби- нации функций Фп, то отсюда следует, что одинаковым будет результат воздействия операторов fg и gf и на произвольную функцию. Этот факт может быть записан в виде символического равенства fg = gf или fg-gf = O. D.3) О таких двух операторах / и g говорят, как о коммутатив- ных друг с другом. Таким образом, мы приходим к важному результату: если две величины / и g могут иметь одновременно определенные значения, то их операторы коммутативны друг с другом. Может быть доказана и обратная теорема (см. § 11): если опе- раторы / и g коммутативны, то у них все собственные функции можно выбрать общими, что физически означает одновремен- ную измеримость соответствующих физических величин. Таким образом, коммутативность операторов является необходимым и достаточным условием одновременной измеримости физических величин. Частным случаем произведения операторов является опера- тор, возведенный в некоторую степень. На основании сказанного можно сделать вывод, что собственные значения оператора fp (р— целое число) равны собственным значениям оператора /, возведенным в ту же р-ю степень. Вообще, можно определить любую функцию оператора (f(f) как оператор, собственные зна- чения которого равны такой же функции (f(f) собственных зна- чений оператора /. Если функция (f(f) разложима в ряд Тэйло- ра, то таким разложением действие оператора (/?(/) сводится к действию различных степеней fp. В частности, оператор f~x называется обратным операто- ру /. Очевидно, что в результате последовательного воздействия операторов / и /-1 на произвольную функцию последняя оста- ется неизменной, т.е. ff~x = f~Xf = 1- § 4 СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ 31 Если же величины / и g не измеримы одновременно, то по- нятие их произведения не имеет указанного выше прямого смыс- ла. Это проявляется уже в том, что оператор fg в этом случае не будет эрмитовым, а поэтому не может соответствовать веще- ственной физической величине. Действительно, по определению транспонированного оператора, пишем J Ф/|Ф dq = I Ф/(?Ф) dq = I(?Ф)(/Ф) dq. Здесь оператор / действует только на функцию Ф, а оператор g на Ф, так что под интегралом стоит просто произведение двух функций: ^Ф и /Ф. Применив еще раз определение транспони- рованного оператора, пишем /ф/?Ф^= А/Ф)(?Ф)^= / Таким образом, мы получили интеграл, в котором по срав- нению с первоначальным функции Ф и Ф поменялись местами. Другими словами, оператор gf есть оператор, транспонирован- ный с /g, и мы можем написать fg = fg, D.4) т. е. оператор, транспонированный с произведением /g, есть про- изведение транспонированных множителей, написанных в об- ратном порядке. Взяв комплексно сопряженное от обеих сторон равенства D.4), найдем, что = g+f+- D-5) Если каждый из операторов / и g — эрмитов, то (/g)+ = gf. Отсюда следует, что оператор fg будет эрмитовым, только если множители / и g —коммутативны. Отметим, что из произведений fg и gf двух некоммутатив- ных эрмитовых операторов можно составить эрмитов же опера- тор—их симметризованное произведение \Ш D-6) Легко также убедиться в том, что разность fg — gf есть «антиэрмитов» оператор (т. е. такой, для которого транспониро- ванный оператор равен взятому с обратным знаком комплексно 32 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ГЛ. I сопряженному). Он может быть сделан эрмитовым умножением на г; таким образом, i(fg ~ gf) D-7) есть тоже эрмитов оператор. В дальнейшем мы будем иногда пользоваться для краткости обозначением {f,g} = fg-gf D.8) для так называемого коммутатора операторов. Легко убедиться в том, что имеет место соотношение }. D.9) Заметим, что если {/, h] = 0 и {g, h} = 0, то отсюда, вообще говоря, отнюдь не следует, что и / и g коммутативны.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Сложение и умножение операторов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
