В § 43 было введено понятие о действии как функции коор- динат и времени. Было показано, что частная производная по времени от этой функции S(q, t) связана с функцией Гамильтона соотношением а ее частные производные по координатам совпадают с импуль- сами. Заменив в соответствии с этим импульсы р в функции Гамильтона производными dS/dq, мы получим уравнение _ + Я^ь...^;—,...,_ ;tj=O, D7.1) которому должна удовлетворять функция S(q,t). Это уравне- ние в частных производных первого порядка; оно называется уравнением Гамильтона-Якоби. Наряду с уравнениями Лагранжа и каноническими уравне- ниями уравнение Гамильтона-Якоби также является основой не- которого общего метода интегрирования уравнений движения. Переходя к изложению этого метода, напомним предва- рительно, что всякое дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка имеет решение, зависящее от про- извольной функции; такое решение называют общим интегра- лом уравнения. В механических применениях, однако, основную роль играет не общий интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, а так называемый полный интеграл] так называется решение дифференциального уравнения в частных производных, содер- жащее столько независимых произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных. 194 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VII В уравнении Гамильтона-Якоби независимыми переменны- ми являются время и координаты. Поэтому для системы с s степенями свободы полной интеграл этого уравнения должен со- держать 5 + 1 произвольных постоянных. При этом, поскольку функция S входит в уравнение только через свои производные, то одна из произвольных постоянных содержится в полном ин- теграле аддитивным образом, т.е. полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби имеет вид S = /(?, gi, ...,&; ai,..., ав) + Д D7.2) где Oil,..., ocs и А — произвольные постоянные х). Выясним теперь связь между полным интегралом уравне- ния Гамильтона-Якоби и интересующим нас решением уравне- ний движения. Для этого произведем каноническое преобразо- вание от величин q,p к новым переменным, причем функцию /(?, #, ос) выберем в качестве производящей функции, а величи- ны (Xi, <X2j..., ocs — в качестве новых импульсов. Новые коор- динаты обозначим через |3i,|32,...,|3s. Так как производящая функция зависит от старых координат и новых импульсов, мы должны пользоваться формулами D5.8): п - Я/ а - Я/ чг _ тт+df Но поскольку функция / удовлетворяет уравнению Гамиль- тона-Якоби, то мы видим, что новая функция Гамильтона об- ращается тождественно в нуль: г) Хотя общий интеграл уравнения Гамильтона-Якоби нам не понадобит- ся, но укажем, что он может быть найден, если известен полный интеграл. Для этого будем считать величину А произвольной функцией остальных постоянных: S = /(*, qi, ..., Qs] ai, ..., oia) + A(ai, ...,ae). Заменив здесь величины oti функциями координат и времени, которые на- ходим из s условий — -О дои ~ и' получим общий интеграл, зависящий от вида произвольной функ- ции A(ai, ..., 0i8). Действительно, для полученной таким способом функ- ции S имеем d ~ \d) + Но величины {dS/dqi)oc удовлетворяют уравнению Гамильтона-Якоби, по- скольку функция S(t, q] ос) есть по предположению полный интеграл этого уравнения. Поэтому удовлетворяют ему и производные dS/dqi. § 47 УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ 195 Н> = Н+% = Н+^ = 0. dt dt Поэтому канонические уравнения для новых переменных имеют вид cxj = 0, (Зг = 0, откуда следует, что оц = const, [3^ = const. D7.3) С другой стороны, s уравнений дают возможность выразить s координат q через время и 25 постоянных а и C. Тем самым мы найдем общий интеграл урав- нений движения. Таким образом, решение задачи о движении механической системы методом Гамильтона-Якоби сводится к следующим опе- рациям. По функции Гамильтона составляется уравнение Гамильто- на-Якоби и находится полный интеграл D7.2) этого уравнения. Дифференцируя его по произвольным постоянным а и прирав- нивая новым постоянным C, получаем систему s алгебраических уравнений решая которую, найдем координаты q как функции времени и 2 s произвольных постоянных. Зависимость импульсов от времени можно найти затем по уравнениям щ = dS/dqi. Если мы имеем неполный интеграл уравнения Гамильтона- Якоби, зависящий от меньшего чем s числа произвольных по- стоянных, то хотя с его помощью нельзя найти общий интеграл уравнений движения, но можно несколько упростить задачу его нахождения. Так, если известна функция S, содержащая одну произвольную постоянную а, то соотношение — = const dot дает одно уравнение, связывающее gi,..., qs и t. Уравнение Гамильтона-Якоби принимает несколько более простую форму в том случае, когда функция Н не зависит от времени явно, т.е. система консервативна. Зависимость действия от времени сводится при этом к слагаемому —Et: S = S0(q)-Et D7.5) (см. § 44), и подстановкой в D7.1) мы получаем для укорочен- 196 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VII ного действия So(q) уравнение Гамильтона-Якоби в виде =к D7-6)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Гамильтона-Якоби» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
