Для геометрической интерпретации механических явлений часто пользуются понятием о так называемом фазовом прост- ранстве как о пространстве 2s измерений, на координатных осях которого откладываются значения s обобщенных координат и s импульсов данной механической системы. Каждая точка этого пространства отвечает определенному состоянию системы. При движении системы изображающая ее фазовая точка описывает в фазовом пространстве соответствующую линию, называемую фазовой траекторией. Произведение дифференциалов dV = dqi... dqs dpi... dps можно рассматривать как «элемент объема» фазового прост- ранства. Рассмотрим теперь интеграл f с?Г, взятый по некото- рой области фазового пространства и изображающий собой ее объем. Покажем, что эта величина обладает свойством инвари- антности по отношению к каноническим преобразованиям: если произвести каноническое преобразование от переменных р, q к переменным Р, Q, то объемы соответствующих друг другу об- ластей пространств p,q и Р, Q одинаковы: f..Idq1...dqsdp1...dps = f...fdQ1...dQsdP1...dPs. D6.1) Как известно, преобразование переменных в кратном инте- грале производится по формуле /.. ./dQi... dQs dP1... dPs = .. jDdqi.. .dq8dp1... dp8, где i,... ,Qa,Pi,. ..,Pa) /^g 2) есть так называемый якобиан преобразования. Поэтому дока- зательство теоремы D6.1) сводится к доказательству того, что якобиан всякого канонического преобразования равен единице: D = 1. D6.3) 192 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VII Воспользуемся известным свойством якобианов, которое поз- воляет обращаться с ними в определенном смысле, как с дробями. «Разделив числитель и знаменатель» на d(qi,..., qSj Pi,..., Ps), получим ...,Qa,Pi,...,Pa) I d(gu...,ga,pi,...,pa) d(qu...,qs,Pu...,Ps) I д(д1,...,да,Р1,...,РаУ Согласно другому известному правилу якобиан, у которого в «числителе» и «знаменателе» фигурируют одинаковые величи- ны, сводится к якобиану от меньшего числа переменных, причем при всех дифференцированиях в нем выпавшие одинаковые ве- личины должны считаться постоянными. Поэтому 1 *(*, ...,*.) /P=const / 1 9(Рг,..., P.) /g=c Рассмотрим якобиан, стоящий в числителе этого выражения. Согласно определению это есть определитель ранга 5, составлен- ный из элементов dQi/dqk (элемент на пересечении г-й строки и к-го столбца). Представив каноническое преобразование с помо- щью производящей функции Ф(д, Р) в форме D5.8), получим 8qk ~ Таким же образом найдем, что г, к-й элемент определителя в знаменателе выражения D6.5) равен . Это значит, что oqioPk оба определителя отличаются только заменой строк на столб- цы и обратно. Поэтому они равны друг другу, так что отноше- ние D6.5) равно единице, что и требовалось доказать. Представим себе теперь, что каждая точка данного участ- ка фазового пространства перемещается со временем согласно уравнениям движения рассматриваемой механической системы. Тем самым будет перемещаться и весь участок. При этом его объем остается неизменным: dV= const. D6.6) Это утверждение (так называемая теорема Лиувилля) непо- средственно следует из инвариантности фазового объема при ка- нонических преобразованиях и из того, что самое изменение р и q при движении можно рассматривать (как было указано в кон- це предыдущего параграфа) как каноническое преобразование. § 47 УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ 193 Совершенно аналогичным образом можно доказать инвари- антность интегралов dqidpidqkdpkj J J J J гФк в которых интегрирование производится по заданным двух-, че- тырех- и т.д. -мерным многообразиям в фазовом пространстве.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Теорема Лиувилля» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
