Принципом наименьшего действия движение механической системы определяется полностью: путем решения следующих из этого принципа уравнений движения можно найти как фор- му траектории, так и зависимость положения на траектории от времени. Если ограничиться более узким вопросом об определении лишь самой траектории (оставляя в стороне временную часть задачи), то оказывается возможным установить для этой цели упрощенную форму принципа наименьшего действия. Предположим, что функция Лагранжа, а с нею и функция Гамильтона не содержат времени явно, так что энергия системы сохраняется: H(p,q) = Е = const. Согласно принципу наименьшего действия вариация дейст- вия для заданных начальных и конечных значений координат и моментов времени (скажем, to и t) равна нулю. Если же до- пускать варьирование конечного момента времени t при фикси- рованных по-прежнему начальных и конечных координатах, то имеем (ср. D3.7)): bS = -Hbt. D4.1) Будем теперь сравнивать не все виртуальные движения си- стемы, а лишь те, которые удовлетворяют закону сохранения энергии. Для таких траекторий мы можем заменить Н в D4.1) постоянной Е1, что дает O. D4.2) 184 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VII Написав действие в виде D3.8) и снова заменяя Н на Е, имеем S= [ZPidQi-Eit-to). D4.3) J г Первый член в этом выражении So = [ Y,Pidqi D4.4) J г иногда называют укороченным действием. Подставив D4.3) в D4.2), найдем SSb = 0. D4.5) Таким образом, укороченное действие имеет минимум по от- ношению ко всем траекториям, удовлетворяющим закону сохра- нения энергии и проходящим через конечную точку в произ- вольный момент времени. Для того чтобы пользоваться таким вариационным принципом, необходимо предварительно выра- зить импульсы, а с ними и все подынтегральное выражение в D4.4) через координаты диих дифференциалы dq. Для этого надо воспользоваться равенствами »-&*(«• 5) ¦ <446> представляющими собой определение импульсов, и уравнением закона сохранения энергии Е (q, ?) = Е. D4.7) Выразив из последнего уравнения дифференциал dt через коор- динаты q и их дифференциалы dq и подставив в формулы D4.6), мы выразим импульсы через q и dq, причем энергия Е будет иг- рать роль параметра. Получающийся таким образом вариаци- онный принцип определяет траекторию системы; этот принцип называют обычно принципом Мопертюи (хотя его точная фор- мулировка была дана Эйлером и Лагранжем). Произведем указанные действия в явном виде для обычной формы функции Лагранжа E.5) как разности кинетической и потенциальной энергий: L = ^2,aik(q)qiqk - U(q). i,k При этом импульсы dL Pi = Wi = § 44 ПРИНЦИП МОПЕРТЮИ 185 а энергия ^2k + U{q). Из последнего равенства имеем dt = ^/Eg^ D48) и, подставляя это выражение в г i,k найдем укороченное действие в виде So= [ V2(E-UM2aikdqidqk. D4.9) J i,k В частности, для одной материальной точки кинетическая энергия т_гп (<й\2 2 где m — масса частицы, a dl — элемент длины траектории, и вариационный принцип для определения формы траектории 6 Г ^/2m(E - U) dl = 0, D4.10) где интеграл берется между двумя заданными точками про- странства. В таком виде он был представлен Якоби. При свободном движении частицы U = 0, и D4.10) дает три- виальный результат i Г dl = 0, т.е. частица движется по кратчайшему пути — по прямой. Вернемся снова к выражению для действия D4.3) и произ- ведем на этот раз его варьирование также и по параметру Е: ^ -it- to)8E - Ebt. 3S = ^ oh/ Подставив это в D4.2), находим Для укороченного действия в форме D4.9) это равенство при- водит к соотношению °<гк dqj dqk _f_f (аал о\ 186 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VII которое представляет собой не что иное, как интеграл уравнения D4.8). Вместе с уравнением траектории оно полностью опреде- ляет движение.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Принцип Мопертюи» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
