В некоторых случаях может оказаться целесообразным при переходе к новым переменным заменить на импульсы не все обобщенные скорости, а только некоторые из них. Соответст- вующее преобразование вполне аналогично произведенному в предыдущем параграфе. Для упрощения записи формул предположим сначала, что имеются всего две координаты, которые мы обозначим, как q и ?,, и произведем преобразование от переменных q, ?,, g, ?, к переменным g, ?, V-, ^ гДе Р ~ обобщенный импульс, соответ- ствующий координате q. Дифференциал функции Лагранжа L(q, ?,, g, ?,) равен dL = —dq + —dq + —dl, + ^dl = dq dq dl d^ dL dL • = pdq + pdq+ ~^d^+ — d?, откуда получаем d(L -pq) =pdq- qdp+ -wrdE, -\ rd5,. Введем функцию (так называемую функцию Рауса) R(q,p,t,i)=pq-L, D1.1) в которой скорость g выражена через импульс р при помощи равенства р = dL/dq. Дифференциал dR=-pdq + qdp- d-^dl - ^dl. D1.2) § 41 ФУНКЦИЯ РАУСА 175 Откуда следует, что U-ft • U-ft / А -\ Г>\ *=W P = ~V DL3) 8L _ _dR dL _ _dR (&л .ч Подставляя последние равенства в уравнение Лагранжа для ко- ординаты ?,, получим ±д_К = д_К ( } dtQl дЕ, { } Таким образом, функция Рауса является гамильтоновой по отношению к координате q (уравнения D1.3)) и лагранжевой по отношению к координате ?, (уравнение D1.5)). Согласно общему определению энергия системы Е = q— + ?,— - L = pq + 5,— - L. д<1 дЕ, дЕ, Ее выраж:ение через функцию Рауса получается путем подста- новки сюда D1.1) и D1.4) E = R-lS^. D1.6) Обобщение полученных формул на случай, когда имеется по нескольку координат q и ?,, очевидно. Применение функции Рауса может быть целесообразным, в частности, при наличии циклических координат. Если координа- ты q — циклические, то они не входят явным образом в функцию Лагранжа, а потому и в функцию Рауса, так что последняя бу- дет функцией только от р, ?,, ?,. Но импульсы р, соответствующие циклическим координатам, постоянны (это следует и из второ- го из уравнений D1.3), которое в этом смысле не дает ничего нового). После замены импульсов р их заданными постоянными значениями уравнения D1.5) = dt д1 дЕ, превратятся в уравнения, содержащие только координаты ?,, так что циклические координаты тем самым исключаются полно- стью. Если эти уравнения решены и функции ?,(?) найдены, то, подставив их в правую часть уравнений dR(P,i,j) q~ dp ' мы найдем прямым интегрированием функции q(t).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Функция Рауса» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
