Как уже указывалось, для описания движения твердого тела можно пользоваться тремя координатами его центра инерции и какими-либо тремя углами, определяющими ориентацию осей г) Так, в однородном электрическом поле Е есть напряженность поля, а е — заряд частицы. В однородном поле тяжести Е есть ускорение свобод- ного падения g, а е — масса частицы т. 146 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГЛ. VI Рис. 47 жх, Ж2, жз движущейся системы координат относительно непо- движной системы X, У, Z. В качестве этих углов часто оказыва- ются удобными так называемые эйлеровы углы. Так как нас сейчас интересу- ют только углы между осями ко- ординат, мы выберем начала обе- их систем в одной точке (рис. 47). Подвижная плоскость жхЖ2 пере- секает неподвижную XY по не- которой прямой (ON на рис. 47), которую называют линией узлов. Эта линия, очевидно, перпендику- лярна как к оси Z, так и к оси жз; ее положительное направление выберем так, чтобы оно соот- ветствовало направлению векторного произведения [гхз] (где z, х3 — орты в направлении осей Z и жз). В качестве величин, определяющих положение осей жх, Ж2, жз относительно осей X, У, Z, примем следующие углы: угол 6 меж- ду осями Z и жз, угол ф между осями X и iV, угол г|; между ося- ми N и жх. Углы ф и г|ютсчитываются в направлениях, определя- емых правилом винта, соответственно вокруг осей Z и жз- Угол 9 пробегает значения от нуля до 7Г, а углы фиг|) — от нуля до 2п г). Выразим теперь компоненты вектора угловой скорости ft по подвижным осям жх, Ж2, жз через эйлеровы углы и их производ- ные. Для этого надо спроецировать на эти оси угловые скорости 6, ф, г|;. Угловая скорость 6 направлена по линии узлов ON и ее составляющие по осям жх, Ж2, жз равны: в! = в cos-ф, 62 = -9 sin-ф, 63 = 0. Угловая скорость ф направлена вдоль оси Z\ ее проекция на ось жз равна фз = ф cos 6, а проекция на плоскость жхЖ2 равна ф sin 6. Разлагая последнюю на составляющие по осям жх и Ж2, получим <Pi = ф sin 6 sinij>, Ф2 = ф sin 6 cosijj. Наконец, угловая скорость л\> направлена по оси жз- ) Углы Э и (р — 71 / 2 представляют собой соответственно полярный угол и азимут направления хз по отношению к осям X, У, Z. В то же время Э и я/2 — *ф являются соответственно полярным углом и азимутом направления Z по отношению к осям xi, X2, #з- § 35 ЭЙЛЕРОВЫ УГЛЫ 147 Собирая все эти составляющие по каждой из осей, получим окончательно: fil = ф sin 6 sin-ф + 6 cos-ф, ^2 = ф sin6 cost]; — 6sin\|;, C5.1) fi3 = ф cos 6 + ip. Если оси xi, Ж2, х% выбраны по главным осям инерции твер- дого тела, то вращательную кинетическую энергию, выраженную через эйлеровы углы, мы получим подстановкой A0) в C2.8). Для симметрического волчка, у которого 1\ = 12 Ф /з, най- дем после простого приведения: Гвр = |(ф28т2е + е2) + |(фсо8б+г1;J. C5.2) Заметим, что это выражение можно получить и проще, восполь- зовавшись производительностью выбора направлений главных осей инерции х\, х2 у симметрического волчка. Считая, что ось х\ совпадает с осью узлов ON, т.е. что л\> = 0, будем иметь для составляющих угловой скорости более простые выражения fix = 9, ft2 = (psin9, П3 = фсо8б + -ф. C5.3) В качестве простого примера применения эйлеровых углов определим с их помощью известное уже нам свободное движение симметрического волчка. Выберем ось Z неподвижной системы координат в направле- нии постоянного момента волчка М. Ось х% подвижной системы направлена по оси волчка, а ось х\ пусть совпадает в данный момент времени с осью узлов. Тогда для компонент вектора М находим с помощью формул C5.3): Mi = Jifii = Дё, М2 = Ms = /3^3 = С другой стороны, поскольку ось х\ (линия узлов) перпендику- лярна к оси Z, имеем Mi = 0, М2 = М sin 9, Ms = M cos 6. Приравнивая друг другу эти выражения, получим следующие уравнения: ё = 0, Jicp = M, /3(фсо8б+-ф) = McosG. C5.4) Первое из этих уравнений дает 6 = const, т.е. постоянство угла наклона оси волчка к направлению М. Второе определяет (в согласии с C3.5)) угловую скорость прецессии ф = Mjl\, 148 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГЛ. VI Наконец, третье определяет угловую скорость вращения волчка вокруг собственной оси Г^з — Mcos6//3-
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Эйлеровы углы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
