Рассмотрим в периодическом твердом теле электрон, который находится под действием внешнего электрического поля Е. Сила, действующая на электрон, равна —еЕ. Следовательно, скорость изменения энергии электрона составляет -"-eE-v, (3.143) где v — скорость движения самого электрона, т. е. величина vgi а не vp, о которой шла речь в предыдущем разделе. Бесконечно малое изменение энергии можно записать как de = Vftedk. Подставим выражение для скорости (3.141) в уравнение (3.143). В результате этих двух подстановок получим h(dk/dt)=—eE. (3.144) Вспомнив что сила есть скорость изменения импульса, убеждаемся в том, что величина hk по отношению к внешним силам ведет себя как импульс электрона. Ускорение электрона под действием приложенного внешнего поля равно a-(1r)=Xir)-><-<E->= = ~hVk[ (~/ё*Е) v*e]= "^г"VkVkE(eE)* (ЗЛ45) Таким образом, ускорение имеет компоненты аь = -^-У дЧ (еЕ;). (3.146) 1 ft2 La dkidk, V " V ' / Сравнение выражений (3.145) и (3.146) с законами движения Ньютона показывает, что тензорная величина l/ft2V*Vfc8 имеет размерность (масса)-1. Поэтому величину \тц\ = ft2 [дЧ/dkidkj]-' (3.147) называют тензором эффективной массы для электрона, находящегося в периодическом поле. В некоторых твердых телах с достаточно сложной структурой недиагональные компоненты этого тензора велики и электрическое поле, приложенное в одном направлении, вызывает ускорение в другом направлении. Так происходит, когда поверхности постоянной энергии в k-пространстве заметно отличаются от сферических, как, например, показано на рис. 3.49. Для идеально простого и изотропного твердого тела все не^иа- гональные компоненты тензора эффективной массы обращаются в нуль, а три диагональные компоненты, допускаемые видом 3.5. Динамика движения электронов 291 периодического потенциала, одинаковы. В таком идеальном твердом теле электрон имеет скалярную эффективную массу h* (3.148) d2e/dk2 по крайней мере в части области изменения своей энергии (т. е. по крайней мере в некоторых областях зоны Бриллюэна). Когда зависимость энергии от волнового вектора квадратична, то можно утверждать, что электроны обладают не зависящей от энергии эффективной массой, поскольку - h%k% (3.149) 2т* Однако в широком энергетическом интервале зависимость е от к неизбежно отклоняется от простого вида (3.149). Такое отклонение зависимости е(к) от квадратичной часто описывают как зависимость эффективной массы от энергии, хотя его можно с равным успехом описывать и другими способами. Эффективную массу следует рассматривать как удобный способ описания многих сложных явлений в твердом теле. В качестве примера укажем, что в твердом теле с сильно анизотропной кристаллической структурой тензор эффективной массы может иметь положительные компоненты для одних направлений и отрицательные — для других. Для любого периодического потенциала в зоне Бриллюэна найдутся точки, в которых уравнение Шредингера дает наименьшее возможное значение энергии электрона. Это может быть единственная точка (в центре зоны), несколько точек (эквивалентных вследствие симметрии) на поверхности зоны или ряд точек (также эквивалентных вследствие симметрии) внутри зоны. Рис. 3.50 может служить примером последней ситуации, когда энергия минимальна в шести эквивалентных точках внутри зоны Бриллюэна на направлениях [100], а поверхность постоянной энергии для несколько большей энергии представляет собой шесть вытянутых эллипсоидов с центрами в этих точках. В любом случае будем считать, что энергия электрона минимальна, если k = ki (ив соответствующем числе точек, эквивалентных ki). Тогда все три главные компоненты тензора массы гпц, как правило, положительны в окрестности точки kt (и во всех эквивалентных областях k-пространства). Более того, для энергий, отличающихся от ei на доли электронвольта, эффективная масса обычно практически не зависит от энергии: г^г1 + А1(к—кх)2. (3.150) 292 Гл. 3. Электроны в металлах Рис. 3.50. Пример зоны, для которой минимум электронной энергии не расположен ни в центре, ни на одной из внешних границ зоны Бриллюэна. Минимум энергии находится в точке, где волновой вектор равен(аОО), и еще в пяти точках, эквивалентных данной в силу симметрии. Для несколько большей энергии условие постоянства энергии выполнено на поверхности шести эллипсоидов. Такой вид имеет самая нижняя часть зоны проводимости полупроводникового кремния, а также вторая снизу зона проводимости арсенида галлия. Однако .в этом выражении Ах обычно зависит от направления вектора (к—ki). Таким образом, для электронов, расположенных у дна зоны разрешенных энергий, можно утверждать, что e = e1 + -£-(k-k1)", (3.151) 2mi где гп\ — эффективная масса для данного направления в к- пространстве, отсчитываемого от зонного минимума. В тех частях зоны Бриллюэна, где энергия электрона достигает максимума, по-видимому, все три компоненты (d2e/dkj2) отрицательны, так что следует записать е = е2 —(к—к2)2. (3.152) 2т2 Электрон, принадлежащий к такой группе энергетических состояний, реагирует на поле так, как если бы он обладал отрицательной массой. Таким образом, точка реального пространства, в которой находится незаполненное состояние возле потолка зоны, перемещаясь по кристаллу, ведет себя как частица, 3.5. Динамика движения электронов 293 которую обычно называют положительной дыркой. Дырка имеет положительный заряд (по сравнению с зарядом заполненного состояния) и положительную массу тг. Для зоны, которая заполнена почти до потолка (как в случае валентной зоны полупроводника или для не полностью заполненных зон в некоторых металлах), более удобно говорить о движении дырок, а не электронов.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Эффективная масса» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
