Мы уже рассмотрели вклад, который внес Зоммерфельд в теорию теплоемкости, применив к электронному газу статистику Ферми — Дирака. Теперь обратимся к его анализу проводимости такого газа 19. Зоммерфельд использовал выражение (3.44) для плотности состояний и выражение (3.45) для функции заполнения. Таким образом, ответственными за проводимость могут быть только электроны с энергией, близкой к уровню Ферми. В остальном Зоммерфельд, рассматривая электронный перенос с помощью кинетического уравнения Больцмана, использовал те же предположения, что и Лоренц. Как и в разд. 3.2, это приближение приводит для электропроводности к выражению в виде интеграла [ср. с (3.33)]: а= "^ftffAW^tofAU (3.72) Зет J V ds J 3m* ) \ дг J v ' о о Функция распределения Ферми — Дирака теперь нормирована так, что она дает распределение занятых состояний 19 Sommerfeld A — Z. Physik, 47, 1 (1928). См. также: Sommerfeld А., Frank N,— Rev. Mod. Phys., 3, 1 (1931). 226 Гл. 3. Электроны в металлах в пространстве скоростей [как это было сделано в (3.4) для распределения Больцмана]. Новая функция распределения имеет вид f = 2(ml2nh)* = 2 {m,2nh?f{e)y (3J3) 1 + expf "*2-2еМ V 2k0T J где /(e)—вероятность заполнения (3.45). Определение нормирующего множителя в (3.73) предлагается выполнить в задаче 3.14. Подставив (3.73) в (3.72), запишем электропроводность в виде — 2е2ш а = fk(J^A=-=^^ (3J4) Зя2/г3 J \ де J ms(eF) J ъР \ дг ) о о Вторая форма записи в (3.74) приведена для того, чтобы вернуть читателя к отправной точке. Это преобразование было выполнено с помощью равенства (3.49) и выражения для скорости электрона с энергией Ферми, имеющего вид s(eF) = = (2eF/m)V2. Вклад в интеграл (3.74) может дать только энергетический интервал порядка нескольких k0T вблизи энергии Ферми ef, поскольку величина (df/de) как для больших, так и для меньших энергий обращается в нуль. На рис. 3.13 представлены функция /(e) и ее производная для конечной температуры. Максимальное значение производной составляет (—l/4k0T) при e = 8F. Дальнейшее исследование этой интересной функции предлагается в задаче 3.15. Учитывая, что функция (df/de) близка к дельта-функции, можно утверждать, что для любой медленно изменяющейся функции энергии р(е) выполнено равенство 00 -$Р(в)(-^-)А = Р(в,). (3.75) О Следовательно, выражение _Г^_(_ЁШ_^ = Ме,) (3.76) О определяет среднюю длину свободного пробега для электрона с энергией, точно равной энергии Ферми. Подставив (3.76) в (3.74), получим электропроводность, выраженную только че- 3.3. Квантовая теория свободных электронов 227 Рис. 3.13. Зависимость от энергии функции заполнения Ферми — Дирака /(e) = =[Ц-ехр(е— eWW)]"1 и ее производной. Производная (—df/de) симметрична по энергии относительно точки ef, ее значение в максимуме равно (lUkoT). Энергия е (3.77) рез полную плотность электронов и характеристики электронов с энергией Ферми: g = пе*Х(гР) ms(EF) Для иллюстрации формул (3.72) — (3.77) сравним в пространстве скоростей или в k-пространстве смещение под действием электрического поля размытого распределения Максвелла (см. рис. 3.5) со смещением довольно резко ограниченной ферми-сферы (рис. 3.14). В последнем случае приложение электрического поля приводит к полному обеднению тонкой изогнутой области v-пространства и полностью заселяет зеркально симметричную ей область с противоположной стороны от заполненной части сферы Ферми. Все состояния с изменяющимся заполнением отвечают энергиям электрона, близким к энергии Ферми. Поэтому электропроводность (3.77) зависит только от s(eF) и X(8f). Электропроводность можно выразить через среднее время свободного пробега электронов между двумя рассеивающими столкновениями, которое для электронов, движущихся со скоростью Ферми, равно rm = b(eF)/s(eF). (3.78) Электропроводность соответственно будет равна o = neh;Jm. (3.79) Заметим, что это выражение по форме в точности совпадает с выражением, полученным в самой ранней модели Друде. Если мы займемся выводом из модели Друде формулы (3.16), то заметим, что отличие более поздних теорий заключается только в определении таких величин, как тт. Теперь понятно, 228 Гл. S. Электроны в металлах I I I полем i i Рис. 3.14. Смещение электрическим полем заполненной области в пространстве скоростей для сильно вырожденного электронного газа. Ситуация для конечной температуры не будет сильно отличаться от изображенной здесь для 7=0. В отсутствие поля заполненная область представляет собой сферу с центром в начале v-пространства. Внешняя поверхность этого объема называется сферой Ферми; в частности, и в том случае, когда заменой координат мы переходим к представлению в k-пространстве. Электрическое поле смещает сферу Ферми как целое на величину, зависящую от K(bf). Согласно зонной теории твердых тел, поверхность Ферми может отклоняться от сферической формы, однако смещение распределения Ферми приложенным полем происходит примерно так, как изображено здесь. что для вырожденного электронного газа имеет значение среднее время свободного пробега только малой части всех электронов. Уже было отмечено, что Зоммерфельд провел существенное различие между большим числом «свободных электронов» и гораздо меньшим числом «проводящих электронов». Приближение Зоммерфельда дает также выражение для электронной теплопроводности и значение (n2k02/3e2) для числа Лоренца, которые при обычных температурах находятся в хорошем согласии с экспериментом. Для вырожденного электронного газа коэффициент Холла равен RH=—\/ne, (3.80) что на 15% меньше классического результата (3.38). Подобным же образом Зоммерфельд получил решения уравнения Больцмана для магнетосопротивления и различных гальваномагнитных и термоэлектрических эффектов в сильно вырожденном электронном газе. Эти решения с большим или меньшим успехом могут быть применены к простым и сложным металлическим кристаллам.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Модель металлической проводимости Зоммерфельда» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
