Первая простейшая классическая модель газа свободных электронов в металле была построена Друде в 1900 г. Ее изложение здесь полезно потому, что, несмотря на ограниченность этой модели, она содержит некоторые идеи, которые до сих пор остаются неотъемлемой частью более серьезных теорий. Друде предположил, что при полной плотности электронов п в единице объема металла каждый его атом должен отдать «электронному газу» не менее одного электрона. Он выяснил, к каким результатам приводит чрезвычайно упрощенная модель, основанная на предположении, что каждый электрон обладает кинетической энергией, соответствующей трем классическим степеням свободы поступательного движения, т. е. что каждый электрон обладает кинетической энергией (3/2) k0T. Таким образом, в модели Друде все электроны движутся со 3.2. Классическая теория свободных электронов 197 средней квадратичной скоростью, определяемой распределением Больцмана (3.6). Из этого предположения следует, что электронный газ должен обладать полной энергией (&/2)nk0T и удельной электронной теплоемкостью (3/2)nfe0. Следовательно, в таком металле (например, в натрии или меди), у которого плотность атомов и плотность электронов одинаковы, электроны должны примерно на 50 % увеличивать удельную теплоемкость по сравнению с непроводником. Это предсказание теории для реальных металлов не выполняется. Удельная теплоемкость электронов в металле на самом деле очень мала и линейно зависит от температуры, а не является константой. Таким образом, с самого начала мы можем указать на серьезный недостаток теории Друде (и всех последующих классических теорий). Однако и сейчас для нас остается полезным данное Друде описание дрейфа и электропроводности. Друде предположил, что движущиеся электроны рассеиваются в результате беспорядочных соударений с атомными остатками. Термин «беспорядочные» указывает на то, что средняя скорость непосредственно после любого акта соударения равна нулю. Это означает, что любая дрейфовая скорость в направлении внешнего поля уничтожается в результате рассеивающего столкновения. В промежутках между соударениями поле может изменять скорость движения электрона по величине и направлению, но результат его действия ликвидируется всякий раз, когда происходит соударение. Таким образом, чем больше среднее время свободного пробега между соударениями Тт, тем сильнее влияние внешнего поля. Можно определить среднее время свободного пробега хт как величину, обратную вероятности столкновения в единицу времени. Рассмотрим группу из п0 электронов в момент времени £=0. Тогда число электронов, не испытавших соударения к моменту времени t, составляет nt = п0 ехрг(—*/тт). (3.9) Скорость, с которой уменьшается число электронов, не испытавших соударения, равна ^fLaa:TL=fLexp(-v-)- <3-10> F? at Tm Tm V Tm / Предположим теперь, что движение и столкновение электронов происходит в электрическом поле Е. По истечении времени / электрон, не испытавший соударения, приобретает в дополнение к своей тепловой скорости дрейфовую скорость Av,= ~~eEt . (3.11) 198 Гл. 3. Электроны в металлах Следовательно, расстояние, которое электрон проходит в направлении поля, составляет *,=-=iI£-. (3.12) 2т Этот дрейф накладывается на беспорядочное тепловое движение. Формула (3.12) является обычным следствием второго закона Ньютона для расстояния, пройденного с постоянным ускорением. Суммарное перемещение в направлении поля п0 электронов за один свободный пробег равно ( — е Е /inxi \ /? 1 — е Е /i0t;L = ( Lsl \±^e-»dy = '-О-. (3.13) V m / J 2 m о Такой путь прошли бы п0 частиц, имеющих одинаковое время свободного пробега хт и среднюю дрейфовую скорость Д у= -gET" . (3.14) m Если предположить, что в 1 м3 металла содержится п электронов, обладающих в электрическом поле Е одной и той же постоянной дрейфовой скоростью Av, то плотность электрического тока будет равна J = —епА v = пеНт Elm = а Е, (3.15) где положительная скалярная величина о = пе2тт/т (3.16) есть удельная электропроводность. Такой вид выражения для электропроводности сохраняется в более сложных квантовых моделях, а также в зонной теории; различие состоит в том, как определены входящие в него величины /г, т и хт- Равенство (3.15) представляет собой хорошо известный закон Ома, состоящий в том, что приложенное напряжение и результирующий ток связаны линейным соотношением. При переходе к более сложным ситуациям станет ясно, что в некоторых случаях ток J может нелинейно зависеть от поля Е. Мы увидим также, что а может быть тензорной величиной, связывающей поле в одном направлении с плотностью тока в другом. 3.2. Классическая теория свободных электронов 199 Электропроводность часто выражают не через среднее время свободного пробега, а через другие величины. Обычное выражение имеет вид о = ne\i, (3.17) где величина \i = — Д v/E = exjm (3.18) представляет собой дрейфовую подвижность электронов (дрейфовую скорость, приобретаемую электроном в поле с единичной напряженностью). Электропроводность также часто выражают через среднюю длину свободного пробега Х = 5Ттт электронов, определяемую как расстояние, проходимое электроном, движущимся с тепловой скоростью, за среднее время свободного пробега tm. Таким образом, в модели Друде электропроводность а может быть записана в виде _ пе*тт _ пе2к __ пе2К (Ъ ]Q\ ~~ т ~~ msT ~ (Smk0T)W Поскольку почти у всех обычных металлов электропроводность в широком интервале температур изменяется с температурой как Г-1, Друде был вынужден предположить, что столкновения электронов с неподвижным распределением ионных остатков приводят каким-то образом к тому, что средняя длина свободного пробега изменяется с температурой как Т~х/2. Почему должна быть такая зависимость, было совершенно непонятно; это слабое место теории послужило стимулом к созданию новых кинетических моделей электронного газа. При дальнейшем охлаждении электропроводность типичного металла возрастает как Г-5, а затем выходит на низкотемпературное насыщение (см. рис. 3.1); эти особенности температурной зависимости о еще труднее объяснить с точки зрения классических моделей свободных электронов. С помощью кинетической теории Друде, использованной здесь для вычисления а, можно аналогичным образом получить электронную теплопроводность K,=^Tms2CKJ1. (3.20) о Величина Скл в формуле (3.20) обозначает классическую удельную теплоемкость электронного газа при постоянном объеме. Как уже было указано, в модели электронного газа Друде эта удельная теплоемкость должна быть равна (3/2)k0n, так что ке = nk0xms2 = (3nrmk2oT/m). (3.21) 200 Гл. 3. Электроны в металлах Объединяя выражение (3.21) с формулой (3.16) для электропроводности, можно получить число Лоренца L = (*JaT) = 3 (kjef = 2,2 • 10~8 (В/К)2. (3.22) Значение числа Лоренца, полученное Друде, находится, как можно видеть из табл. 3.1, в удивительно хорошем согласии с его значениями, экспериментально измеренными при комнатной температуре, для многих металлов. Это был один из самых выдающихся успехов теории Друде, послуживший стимулом для развития более сложных моделей. Отношение теплопроводности к электропроводности для большинства реальных металлов при охлаждении ниже 100 К, как можно видеть из табл. 3.1, существенно отклоняется от закона Видемана — Франца. Однако для многих металлов было установлено, что при очень низких температурах величина (ке/оТ) снова становится постоянной. (Нечего и говорить, что модель Друде этого не объясняет.) Рис. 3.1 показывает, что для меди отношение (ке/оТ) становится опять постоянным при температурах столь низких, что величина хш как для электропроводности, так и для теплопроводности определяется рассеянием на примесях и дефектах.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Модель Друде» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
