Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Фізика твердого тіла

Модель Дебая

Дебай, как и Эйнштейн, постулировал, что N атомов
кристалла должны иметь 3N колебательных мод, причем каждая
мода обладает энергией, описываемой выражением (2.52), и
числом заполнения (2.54). Однако он заметил, что угловая
частота со моды должна зависеть от ее волнового вектора к,
причем должна существовать максимальная частота от, такая,
что полное число различимых мод равно
3W= J g((D)dcD. (2.59)
25\~
20
из
§
^ 5
"~V
/
4
/
/
1
t
Debye P.—Ann. Phys., 39, 789 (1912).
2.4. Статистика фононов и теплоемкость решетки 159
Эта же частота является верхним пределом интеграла,
описывающего полную колебательную энергию:
(hid) g (со) d(d ,2 6Q.
[exp (h(dlkQT) — 1]
Определить истинную плотность состояний g(w) реального
кристалла довольно сложно. Попытки формального решения
уравнения (2.60) впервые были предприняты Борном и
Карманом30, а позднее продолжены Блэкманом, опубликовавшим
по этому вопросу серию работ, на которые мы уже ссылались
ранее 10.
Дебай предположил, что можно получить полезные
результаты, если выразить g(w) через фазовую скорость v=((o/k),
положив ее равной соответствующим образом выбранной
скорости звука vo для всех колебательных мод. Тогда необходимо
выбрать верхний предел интегрирования &D в выражениях
(2.59), (2.60) таким образом, чтобы правая часть выражения
(2.59) равнялась 3N. Это приводит к неправильному учету
высокочастотных мод, но в силу квантовых ограничений при
низких температурах таким модам, не подчиняющимся
классическим законам, соответствует очень малое количество
фононов. Таким образом, результат не должен существенным
образом зависеть от выбора g"(co) вблизи верхнего края спектра.
Дебаевская модель плотности состояний может быть
использована для описания реального или воображаемого
кристалла любой размерности. В задаче 2.13 рассматривается
модель Дебая для одномерного кристалла. В m-мерном
кристалле температурная зависимость теплоемкости при низких
температурах в этой модели подчиняется закону
Cv=ATm. (2.61)
Это согласуется с тем фактом, что во многих реальных
(трехмерных) кристаллах при низких температурах она
пропорциональна Р.
Важными параметрами в модели Дебая является скорость
звука Vo и максимальная частота ©d. У нас нет возможности
выбрать эти параметры независимо при подгонке результатов
эксперимента и дебаевской модели. В окончательные
выражения обычно вместо cod входит характеристическая температура
Дебая 6d= (UgW&o) и через нее выражается Cv.
В трехмерной модели Дебая в выражение (2.60)
подставляется соответствующая величина g(co), а в качестве верхнего
предела — величина, удовлетворяющая равенству (2.59). На-
30 Bom М., von Kdrmdn Т.— Z. Phys., 13, 297 (1912).
160
Гл. 2. Динамика решетки
помним, что, согласно выражению (2.27), для продольных
колебательных мод g (k) = (k2/2n2), а для поперечных мод g(k)
имеет вдвое большую величину. Как показано в задаче 2.4,
g(k) можно преобразовать к виду
g(w)="e"("t+1:)'ш<<Ыо)' (2*62)
Мы получили плотность состояний как функцию частоты для
акустических колебаний в длинноволновом пределе (в
предположении, что продольные и поперечные волны
распространяются с различными скоростями). В дебаевской модели
принимается, что
g((D) » (3(02/2я2Уо), 0<GD<GDD (2.63)
для всех колебательных мод. Параметр и0 в выражении (2.63)
и предел интегрирования gxd связаны определенным
соотношением, поскольку в кристалле с N атомами в объеме V в
единице объема должно содержаться 3N/V мод. Таким образом,
®d
(3NIV)= J g((o)d<*> = {(ODl2nvl). (2.64)
о
Искусственно введенный верхний предел можно выразить
через дебаевскую характеристическую температуру
6D = (A©D/fto) - (hvQ/kQ) (jm*NIV)W. (2.65)
В дебаевской модели оказывается удобнее оперировать
с параметром 0в, имеющим размерность температуры, а не
с предельной частотой о)я= (&обл/й) или максимальным
радиусом kD= (gWVo) в обратном пространстве. Чтобы лучше
понять модель Дебая, вспомним, что сфера радиусом kD
занимает такой же объем в k-пространстве, как и настоящая зона
Бриллюэна. Таким образом, фононы, волновой вектор которых
сравним с kD (частота сравнима с сов, энергия — с &о(Ь),
расположены вблизи границ зоны. При всех температурах, кроме
высоких, число фононов с такой большой энергией и волновым
вектором довольно мало.
На рис. 2.19 очень сложная функция g(<o) для меди
сравнивается с более простой, квадратично возрастающей с со вплоть
до некоторого искусственно введенного предела. Заметим, что
использование грубого приближения для высокочастотной
части спектра не сильно отражается на результатах. Большой
интерес представляет тот факт, что функция g(co), полученная из
экспериментов по рассеянию нейтронов, на начальном участке
спектра возрастает быстрее, чем это следует из модели Дебая.
Кривая, отвечающая на рис. 2.19 модели Дебая, построена для
2.4. Статистика фононов и теплоемкость решетки 161
2 3 4 5
со, 1013 раЭ/с
Рис. 2.19. Плотность состояний фононов в меди. Сплошная кривая
построена по результатам экспериментального исследования рассеяния нейтронов
согласно Свенссону и др. (1967), а также Нильсону и Роландсону (1973),
причем эта же экспериментальная зависимость приведена на рис. 2.7.
Штриховая кривая соответствует трехмерной модели Дебая и проведена таким
образом, что площади под этими двумя кривыми одинаковы. При этом (x>d~
=4,5 • 1013 рад/с, а характеристическая температура Дебая 0D=344 К.
некоторой температуры Дебая QD [и соответствующих ей
значений o)jd, v0 и g"((o)], которая вычислялась по результатам
исследования теплоемкости меди. Необходимо помнить, что QD играет
роль подгоночного параметра, который обеспечивает
наилучшее согласие между экспериментальными и теоретическими
значениями теплоемкости.
В методе Дебая плотность состояний g((o), определяемую
формулой (2.63), следует подставить в выражение (2.60).
Тогда для результирующей энергии колебаний решетки на
единицу объема получаем
U-
!(*АВ)] 1е
(дЧ(0
хр (h<dlk0T) — 1]
(2.66)
Переходя к безразмерной
писать
переменной лг= (H(d/k0T) можно за-
<Vr)
[VNkpT* -I г
V*D J }
x9dx
<«*-!)
(2.67)
Дифференцируя по температуре, получаем выражение для
теплоемкости
г -{ ди \ Г ЭМ^3 1 Г
xk*dx
(2.68)
162
Гл. 2. Динамика решетки
^20
-о
ч to
^ S
О 0,2 0J 0,6 0,8 1,0
щ
Рис. 2.20. Температурная зависимость молярной теплоемкости твердого тела,
построенная по трехмерной модели Дебая. Экспериментальные точки
получены для образца иттрия [Jennings L. D., Miller R. Ё., Spedding F. //.— J. Chem.
Phys., 33, 1849 (I960)]. Температура на оси абсцисс нормирована на
температуру Дебая 0d=2OO К. (При самых низких температурах наилучшее согласие
может быть достигнуто для несколько большего значения температуры
Дебая.) То, что при высоких температурах экспериментальные точки лежат
выше теоретической кривой, объясняется тем, что в действительности
измеряется Ср, а не С.
Выражения для величин U и Cv записываются через
интегралы, которые выражаются в аналитическом виде только
в пределе высоких и низких температур. Однако численно Cv
можно определить для любой температуры31. Сопоставление
экспериментальных величин и теоретической кривой,
полученной по модели Дебая для типичного случая, приведено на
рис. 2.20.
Как и следовало ожидать, для температур гораздо выше
QD интеграл в выражении (2.67) равен 1Iz(Qd/T)*9 так что для
энергии и теплоемкости получаем классические формулы U^
**(3Nk0T/V) и Cv« (3Nk0/V). Более интересна область низких
температур, в которой, согласно эксперименту, Cv убывает не
по экспоненциальному закону, как предсказывает модель
Эйнштейна, а имеет более слабую зависимость от температуры.
Если для температур, меньших (0D/1O), в качестве
пределов интегрирования в выражениях (2.67) и (2.68) взять нуль
и бесконечность, то это не приведет к большой ошибке. Тогда
31 Подробные таблицы функций Дебая и Эйнштейна приведены в
монографии: Gopal Е. S. R. Specific Heats at Low Temperatures, Plen. Press, 1966.
В табулированном виде эти функции можно найти также в справочнике: The
American Institute of Physics Handbook, McGraw-Hill, 1971 и Handbook of
Mathematical functions, eds. M. Abramowitz, I. A. Stegun, Dover, 1965.
2.4. Статистика фононов и теплоемкость решетки 163
Рис. 2.21. Температурная зависимость теплоемкости КС1 и Си при очень
низких температурах. Линейный ход в этих координатах указывает на то, что
в Cv содержится член, пропорциональный Р. В случае КО этот член
является единственным. В случае же меди имеется еще один член, который
линейно зависит от температуры; этот член обусловлен электронным вкладом
в теплоемкость. Данные для КС1 взяты из работы: Keesom P. Н., Pearl-
man N.— Phys. Rev., 91, 1354 (1953), а для меди из работы: Rosenberg Н. М.
Low Temperature Solid State Physics, Oxford University Press, 1963.
интеграл в уравнении (2.67) будет равен (я4/15) и
f/4-^^l при r<(Vio),
1944(779D)3 Дж/(моль.К) при T<(eD/10).
(2.69)
(2.70)
Согласно выражению (2.70) Cv характеризуется кубической
зависимостью от температуры, что часто и наблюдается на
практике для кристаллов при низких температурах. Модель
Эйнштейна не может объяснить такую зависимость. При
промежуточных температурах зависимость Cv от Т с довольно хорошей
точностью описывается или моделью Эйнштейна, или моделью
Дебая.
Если при низких температурах Cv описывается
выражением (2.70), измерения при одной температуре позволяют
определить 0d и предсказать величину Cv при других
температурах. Иллюстрацией может служить рис. 2.21, где представлены
данные для металла и для диэлектрика. Для кристалла КС1
зависимость Cv/T от Т2 линейна и проходит через начало
координат. Таким образом, закономерность Cv~r3,
предсказываемая моделью Дебая, выполняется и величину 0d можно
определить по наклону экспериментальной прямой.
164
Гл. 2. Динамика решетки
Как видно из рис. 2.21, для меди тоже наблюдается
линейная зависимость (Cv/T) от Г2, но соответствующая прямая
отсекает на вертикальной оси некоторый отрезок. Это означает,
что
CV = AT + BT3, (2.71)
где второй член справа отвечает теплоемкости решетки (закон
Дебая), а первый член соответствует теплоемкости газа
свободных электронов. Мы подробно рассмотрим вопросы,
связанные с энергией и другими свойствами электронного газа в
металлах, в гл. 3. Сейчас же достаточно запомнить, что при
сравнении экспериментальных данных по теплоемкости с более
сложными моделями необходимо принимать во внимание
теплоемкость газа свободных электронов, если они существуют
в кристалле.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Модель Дебая» з дисципліни «Фізика твердого тіла»