Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S1 и S2, по которой слева направо течет жидкость (рис.6.3). Пусть в месте сечения S1 скорость течения v1, давление р1 и высота, на которой это сечение расположено, h1. Аналогично, в месте сечения S2 скорость течения v2, давление p2 и высота сечения h2. За малый промежуток времени Δt жидкость перемещается от сечений S1 и S2 к сечениям S′1 и S′2. Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии W2 – W1 идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы т жидкости: W2 – W1 = A, (6.3) где W1 и W2 - полные энергии жидкости массой т в местах сечений S1 и S2 соответственно. С другой стороны, А - это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S1 и S2, за рассматриваемый малый промежуток времени Δt. Для перенесения массы т от S1 до S'1 жидкость должна переместиться на расстояние l1 = υ1Δt и от S2 до S'2 - на расстояние l2 = υ2Δt. Отметим, что l1 и l2 настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис.6.3, приписывают постоянные значения скорости υ, давления р и высоты h. Следовательно, А = F1l1 + F2l2, (6.4) где F1 = p1S1 и F2 = - p2S2 (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; рис.6.3). Полные энергии W1 и W2 будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы т жидкости: W1 = mυ12/2 + mgh1, (6.5) W2= mυ22/2 + mgh2. (6.6) Подставляя (6.5) и (6.6) в (6.3) и приравнивая (6.3) и (6.4), получим mυ12/2 + mgh1 + p1S1υ1Δt = mυ22/2 + mgh2 + p2S2υ2Δt . (6.7) Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (6.2), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е. ΔV = S1υ1Δt = S2υ2Δt. Разделив выражение (6.5) на ΔV, получим ρυ12/2 + ρgh1 + p1 = ρυ22/2 + ρgh2 + p2, где ρ - плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать ρυ2/2 + ρgh + p = const. (6.8) Выражение (6.8) называется уравнением Бернулли. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли - выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико. Величина р в формуле (6.8) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина ρυ2/2 - динамическим давлением. Как уже указывалось выше, величина ρgh представляет собой гидростатическое давление. Для горизонтальной трубки тока (h1 = h2) выражение (6.8) принимает вид ρυ2/2 + p = const, (6.9) где p + ρυ2/2 называется полным давлением. Из уравнения Бернулли (6.9) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (6.2) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис.6.4). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы. Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито - Прандтля (рис.6.5). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р0), с помощью другой - статическое (р). Манометром измеряется разность давлений: р0 – p = ρ0gh, (6.10) где ρ0 - плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению: р0 – p = ρυ2/2 . (6.11) Из формул (6.10) и (6.11) получаем искомую скорость потока жидкости: υ = . (6.12) Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис.6.6). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм.рт.ст. Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис.6.7). Рассмотрим два сечения (на уровне h1 свободной поверхности жидкости в сосуде на уровне h2 выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли: ρυ12/2 + ρgh1 + p1 = ρυ22/2 + ρgh2 + p2. Так как давления р1 и р2 в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. p1 = p2, то уравнение будет иметь вид υ12/2 + gh1 = υ22/2 + gh2. Из уравнения неразрывности (6.2) следует, что υ2/υ1 =S1/S2, где S1 и S2 - площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S1>> S2, то членом υ12/2 можно пренебречь и υ22 = 2g(h1 – h2) = 2gh, υ2 = . (6.13) Это выражение получило название формулы Торричелли .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Бернулли и следствия из него» з дисципліни «Курс лекцій з загальної фізики, орієнтований на будівельні спеціальності»
