При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси: . (4.5) В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу , (4.6) где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z. В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис.4.6). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r + dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dI = r2 dm (так как dr << r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm - масса всего элементарного цилиндра; его объем 2πrh dr. Если ρ - плотность материала, то dm = ρ·2πrh dr и dI = 2π ρhπr3dr . Тогда момент инерции сплошного цилиндра , но так как πR2 h - объем цилиндра, то его масса m = πR2 hρ, а момент инерции . Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела I относительно любой оси вращения О равен моменту его инерции IC относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния a2 между осями: I = IC + ma2. (4.7) Приведем значения моментов инерции (табл.1) для некоторых тел (тела считаются однородными, m - масса тела).
Таблица 1 Тело Положение оси вращения Момент инерции Полый тонкостенный цилиндр радиусом R Ось симметрии mR2 Сплошной цилиндр или диск радиусом R То же 1/2mR2 Прямой тонкий стержень длиной l Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину 1/12 ml2 Прямой тонкий стержень длиной l Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец 1/3 ml2 Шар радиусом R Ось проходит через центр шара 2/5 mR2
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Момент инерции» з дисципліни «Курс лекцій з загальної фізики, орієнтований на будівельні спеціальності»
