Установим связь между уравнением движения E.20) и соотношениями C.47) и C.49), полученными в дрейфовой теории. Для этого разделим уравнение E.20) на продольную и поперечную части пт -?L + (?.V)t>J =n?11-div7:|I E.51) 153 tiv± = (itF— div*) X —— -птЩ- +AГ.^]х^, E.52) где последнее уравнение получено из уравнения E.20) векторным умножением на В. При этом следует исключить из рассмотрения предельный случай В = 0. Отметим, что производная d/dt + v-y, определенная при помощи средней гидродинамической скорости движения у, не обязательно равна полной производной по времени d/dt+u-y, определенной по дрейфовой скорости отдельных частиц; они различаются между собой, так как v и и не равны друг другу. Ограничимся рассмотрением тензора давления E.21), который характеризуется двумя скалярными величинами /7 (| = 2лг/С„ и рх=пК±- Здесь /Св и К± обозначают соответствующие тепловые энергии, определенные согласно уравнению C.45). Предположим, что средняя скорость и у мала по сравнению с тепловой скоростью (и\У/г. Используя выражение E.24), преобразуем уравнение E.52) п7± = nFX -^Jr + п (tf±-2KB)(vfi -ВХ rot 2) X В ,._r, ч _ В ..... du± _ ~в Х-^ V(^±)X -^r-nm--±X qB* v х ' qB* dt qB* -пт [ж + (vv)S + + ("-V)?J X ~• E-53) При этом скорость ^ = и — u = v—u„ — u± E.54) представляет собой некоторую часть средней массовой скорости движения v, связанную лишь с вращением 154 частицы W, но не зависящую от средней скорости ведущих центров частиц и. При выводе уравнения E.53) величина (dujdi) выражена при помощи соотношений C.19) — C.21). Инерционный член u^(du^/dt) связан с кривизной силовых линий магнитного поля. Этот член приводит к появлению множителя 2 перед К и в уравнении E.53). Возможно, вклад от последнего члена в уравнении E.53), пропорциональный скорости vgi будет пренебрежимо мал по сравнению с другими членами. Однако если пренебречь им совсем, то в некоторых случаях получается неправильный результат. Примеры таких случаев мы рассмотрим в разделах 2.4 и 2.5 гл. 8. Сравнивая уравнение C.47), полученное в первом порядке дрейфовой теории, с уравнением E.53), можно обнаружить полное соответствие между ними в нулевом приближении, если пренебречь тепловым движением /Си =0, /Cj_=0 и положить vg=0. При этом для справедливости полученного результата необходимо, чтобы средняя продольная дрейфовая скорость и^ была того же порядка, что и v± и и. Это согласуется также с последним уравнением C.34). При выполнении некоторых условий уравнения C.47) и E.53) совпадают и в первом порядке по параметру е. Заметим прежде всего, что инерционный член в уравнении E.52) является величиной порядка е по сравнению с членами левой части этого же уравнения. Далее воспользуемся тем, что отношение членов divn и nF в уравнении E.52) порядка kTc/LCKFCy где Тс, Fc и Lc — характерные значения соответственно температуры, поля сил, а также пространственного масштаба, на котором изменяется тензор давления. При некоторых условиях, представляющих физический интерес, указанное отношение может стать достаточно малым. Возможно, например, при F = qE = —q уФ, когда энергия ларморовского вращения частицы мала по сравнению с работой электрического поля Е на некоторой длине, характерной для распределения давления. 155 Тогда в низшем порядке по параметру е уравнения E.52) и E.54) можно записать в виде причем эти уравнения справедливы лишь в том случае, если величина div я мала по сравнению с nF. Отметим, что это утверждение становится неверным, когда тепло вая скорость значительно превышает скорость макроскопического движения, а также когда вклад в полный поток частиц, связанный с тензором давления, равен по порядку величины вкладу в полный поток частиц от дрейфа ведущих центров. В этом случае скорость vg уже нельзя считать величиной первого порядка. Таким образом, уравнения C.47) и E.53) согласуются между собой в первом порядке по параметру е только в том случае, когда vg оказывается величиной первого или более высокого порядка по отношению к v±. Мы не можем рассматривать приближения более высокого порядка, так как уравнение C.47) выведено только с точностью до членов первого порядка по параметру е. В § 3.2 было показано, что поток ведущих центров частиц не обязательно равен потоку самих частиц. Более подробно это будет рассмотрено в разделе 2.3 настоящей главы. Действительно, связанная с движением ведущих центров сила инерции не обязательно равна скорости изменения импульса, заключенного в единице объема ионизованного газа. Эта скорость определяется не только ускорением ведущих центров, но и изменением импульса, который связан с движением частицы по ларморовской орбите. Это изменение импульса описывается последним членом в уравнении E.53). Для того чтобы получить более точные уравнения, описывающие динамику ионизованной материи, необходимо вычислить члены более высокого порядка по параметру г не только в уравнениях для дрейфа ведущих центров, но и в уравнениях для ларморовского вращения частиц. Это можно показать на примерах (см. разделы 2.4 и 2.5 гл. 8), в которых существенны эффекты, связанные с градиентом плотности и конеч- 156 ностью ларморовского радиуса. В дальнейшем будет показано, что в горячей плазме вклад от тензора давления, который связан с последними членами в уравнениях E.53) и E.48) —E.50), может оказаться существенным. Обратимся теперь к изучению продольного движения. Используя определения рц— 2/г/С м и р±=пК±< а также выражение E.24) для продольной компоненты вектора diVtt, нетрудно убедиться, что уравнение E.51) полностью согласуется с результатом C.49) дрейфовой теории. Следовательно, из картины движения отдельных частиц и из гидродинамической модели следуют уравнения движения, которые согласуются друг с другом в рамках тех приближений, которые лежат в основе дрейфовой теории в первом порядке по параметру. Мы видели, что гидродинамические уравнения движения получить сравнительно легко, в то время как для нахождения аналогичных результатов в дрейфовой теории необходимо использовать большое число предположений и, кроме того, проводить довольно трудоемкие вычисления. Но это не означает, что макроскопический подход свободен от трудностей. В действительности и при макроскопическом подходе возникают различные проблемы, главная из которых касается определения тензора давления. Как показано в разделе 1.4, вид тензора давления существенно меняется при учете высших приближений по параметру е. В этом случае давление нельзя уже считать скалярной величиной.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение движения» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
