НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ АДИАБАТИЧЕСКОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ
Пусть осциллирующая система описывается амплитудами ? и ?i, введенными в разделе 2.1 гл. 4 и разделе 4.4 гл. 2. Тогда определим величины <со|?|2> или < |?i |2А°>> которые представляют собой адиабатические инварианты. Общее определение адиабатической инвариантности можно ввести так, как это было сделано в разделе 2.1 гл. 4 [19, 66]. Такая формулировка адиабатической инвариантности является точной и не нуждается в дальнейших пояснениях. Имеется, однако, и другой способ определения адиабатической инвариантности. Он связан с разложением динамических переменных в ряды по параметру е, как это было сделано в разделах 3.1 и 4.3. Впервые 137 этот подход в теории адиабатических инвариантов был сформулирован в наиболее общем виде Ленардом [82] следующим образом. Введем такой параметр е, чтобы при е-^0 неограниченно уменьшалась скорость изменения внешних параметров. Это означает, что при е->0 ларморовский радиус вращения частицы и соответствующее время обращения становятся бесконечно малыми по сравнению с характерными масштабами изменения в пространстве и во времени электрического и магнитного полей. Пусть, далее, можно найти такую положительную константу ст, что для достаточно малой величины е изменение Ах некоторой величины % удовлетворяет неравенству I Дх1<в"*т, D-111) где v — положительное целое число. В этом случае говорят, что х — адиабатический инвариант с точностью до v-ro порядка. Это означает, что изменение Дх величины х стремится к нулю по крайней мере также быстро, как величина ev. Если соотношение D.111) справедливо для всех v, то считают, что величина % — адиабатический инвариант с точностью до любого порядка по е. Предположим, что Ах зависит еще и от некоторого другого параметра. Если при этом величины е и ст в неравенстве D.111) можно выбрать независимо от этого параметра, то говорят, что х является адиабатическим инвариантом равномерно относительно этого параметра. Все эти положения можно проиллюстрировать при помощи формулы D.110) для магнитного момента М. Так как величина AM по крайней мере порядка е2, то | ЛМ |/е2 = const и магнитный момент М — адиабатический инвариант по крайней мере с точностью до второго порядка по е. Заметим, следуя Крускалу [45], что сохранение адиабатического инварианта с точностью до любого порядка по е еще не эквивалентно точному постоянству величины, а означает просто, что изменение данной величины при е->0 стремится к нулю быстрее любой степени е. Как отмечено в работе [81], это можно показать, используя функцию x = Xo + Xiexp(—1/е), где хо и xi — постоянные. Функция х является бесконечным рядом по степеням е, 138 который начинается с постоянного члена %0. Величина |Ax|/ev= |xiexP (—I/8) l/?V стремится к ну^но для любой степени v при условии, что е->0. Поэтому в соответствии с настоящим определением % есть адиабатический инвариант с точностью до любого порядка по е. Однако при конечном е эту величину, разумеется, нельзя считать постоянной. В большинстве случаев, представляющих физический интерес, ларморовский радиус и соответствующее время обращения частицы по орбите являются, так же как и е, конечными величинами. Поэтому, даже если некоторая величина и есть адиабатический инвариант с точностью до любого порядка соответствующего асимптотического разложения, мы не имеем прямой информации о том, насколько велико действительное отклонение данной величины от постоянной. Для получения такой информации нам необходимо аккуратно вычис- лись коэффициенты асимптотического разложения или воспользоваться методом, изложенным в разделе 2.3. В заключение отметим, что нарушение адиабатической инвариантности возникает, когда нарушается основное предположение, сформулированное в разделе 3.3 гл. 2. Причиной такого нарушения адиабатической инвариантности может быть, например, резонансное взаимодействие между ларморовским движением и продольными колебаниями, которое было изучено в работе [86]. В результате такого взаимодействия появляется связь между этими двумя степенями свободы, так что соответствующие движения уже не могут больше считаться независимыми. Для изучения этих явлений необходимы специальные методы исследования.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ АДИАБАТИЧЕСКОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
