В результате усреднения точных уравнений движения частицы по быстрому ларморовскому вращению получаются уравнения движения ведущего центра C.16), которые в качестве параметра содержат адиабатический инвариант М. Далее, усреднение уравнений движения ведущего центра по быстрым продольным осцилля- циям приводит к уравнениям D.44) и D.45) для усредненного дрейфового движения, в которые продольный адиабатический инвариант / входит как параметр. Можно, однако, показать, что если движение в пространстве (а, р, Н\\ ) периодическое, то усреднение дрейфовых уравнений приводит к появлению третьего инварианта Ф. Сначала рассмотрим стационарное земное магнитное поле, причем нарушение симметрии будем считать малым (рис. 4.6). В отсутствие дополнительных силовых полей энергия частицы, а следовательно, и ее полная скорость w0 остаются постоянными согласно уравнению B.38). Из сохранения магнитного момента M = mW2/2B следует u\=w20(\~-f). D.57) Подерхтть В=Вт Рис. 4.6. Магнитное <поле Земли, совпадающее приблизительно с магнитным полем диполя. На рисунке указана поверхность, где величина напряженности магнитного поля постоянна и равна Вт. 117 Здесь Вт — величина магнитного поля в тех точках, где происходит отражение частицы, осциллирующей вдоль магнитных силовых линий. Если частица движется в магнитном поле Земли (см. рис. 4.6), то точки отражения частиц находятся в плоскости В = Вт. Для диполь- ного поля среднее значение продольной скорости Иц вдоль силовой линии, вычисленное при помощи формулы D.57), увеличивается с ростом экваториального расстояния Го данной силовой линии. Так как длина дуги между точками отражения В = Вт при этом тоже возрастает, то, очевидно, продольный инвариант / увеличится с ростом г0, так что величина / на силовой линии Lx больше / на силовой линии L0 при Г\>г0. Если асимметрия конфигурации магнитного поля незначительна, то приведенные рассуждения справедливы по крайней мере качественно. В работе [78] было показано, что силовым линиям L0 и L\ соответствуют различные значения продольного инварианта /. Поэтому частица после полного оборота вокруг всей конфигурации из-за постоянства / должна вернуться на ту же силовую линию (см. рис. 4.6). Время полного оборота обозначим t±. Таким образом, мы показали, что в указанном стационарном случае среднее поперечное движение вокруг конфигурации магнитного поля приблизительно периодично. При этом поверхность, по которой движется частица с заданным значением /, как раз и является поверхностью продольного адиабатического инварианта. Если теперь магнитное поле слабо меняется за время полного обхода /±, то движение системы будет приблизительно периодическим по отношению к усредненному дрейфовому движению, которое описывается уравнениями D.44) — D.47). В пространстве (а, р, s) это дрейфовое движение происходит по некоторой цилиндрической поверхности, перпендикулярной плоскости ар (рис. 4.7). Величина площади, вырезаемой цилиндрической поверхностью в плоскости ар, равна магнитному потоку Ф, охватываемому траекторией частицы при движении в конфигурационном пространстве. Высота цилиндра для некоторых а, р в пространстве (а, р, s) равна длине вдоль магнитной силовой линии между двумя точками отражения. При движении частицы в конфигурационном пространстве соответствующая точка в пространстве 118 (а, р, 5) осциллирует вдоль образующей цилиндра между его концами и одновременно дрейфует по поверхности цилиндра (см. рис. 4.7). Покажем теперь, что «захваченный» магнитный поток Ф остается постоянным, если время tj_ мало по сравнению с характерным временем изменения магнитного поля. Это означает, что медленный дрейф частицы в пространстве (а, р, s), происходящий в направлении, перпендикулярном поверхности продольного инварианта, поверхность компенсируется за период продольного t±. Этот эффект аналоги- инбарианта чен обращению в нуль ве- ">м>н»' личины dJ/dt при усреднении по периоду продольных колебаний. Предположим, что в некоторый момент времени частица находится на участке dl, причем она одновременно совершает быстрое движение вдоль контура в плоскости afi и медленно дрейфует под прямым углом к dl. Обозначим (/, М, #ц)о инвариантную поверхность, на которой величины /, М и Н\\ сохраняют свои первоначальные значения. Затем определим скорость К(/, /'), перпендикулярную элементу длины dl\ которая переводит точку V с поверхности продольного инварианта (/, М, Н\\ )о на новую поверхность (/, М, Н ц ) х за такое время dt, которое необходимо для такого же перемещения реальной частицы, находящейся в точке / и движущейся со скоростью (<а>, <р>). Скорость Y аналогична скорости V± на рис. 4.5. Значения / и М на поверхностях, которые обозначены на рис. 4.7 индексами 0 и 1, одинаковы, а значения Н \\ разные. Так как J и М можно приближенно считать постоянными, а Я к не зависит от координаты s, то производная Я у по времени в точке /, усредненная по дрейфо- или Y4W Рис. 4.7. Движение частицы в конфигурационном пространстве с координатами (а, Р, s). 119 вому движению, в соответствии с определением Y равна <Я„ >, = ¦?#!, (О + П/, О V*"i. (О- D-58) Здесь у«? обозначает градиент в плоскости ар. Так как величина Н\\ постоянна вдоль замкнутой кривой, изображенной на рис. 4.7, то вектор у«3 #н (О направлен перпендикулярно элементу длины этой кривой dl'. В системе координат, связанной с некоторой точкой I траектории частицы, мгновенная скорость изменения площади, охватываемой этой траекторией (т. е. мгновенная скорость изменения магнитного потока), равна сумме всех вкладов от смещений Y(l, l')dt в различных точках V ii«. = ??('.'')?« Я, (О,,, D.59) dt У \1+нИП\ Подставляя в выражение D.59) из уравнений D.58), D.44) —D.46) Г.^Я,,, К*—[<a>2+<P>-*P/f и дНц/dt, получаем ^ =<?[<#„>,-<//„ >н 41. D-60) где штрих означает, что соответствующая величина вычислена в точке V. Таким образом, мгновенное изменение потока не равно нулю. Однако для полного периода дрейфового движения вблизи поверхности продольного адиабатического инварианта среднее значение d(b/dt ввиду антисимметрии подынтегрального выражения оказывается равным нулю <^>ФфкЯ1|>/-<Я11>Н^^-=0. D.61) 4 dt / «уУ V*? V.p Это означает, что вклад дрейфового движения вне инвариантной поверхности компенсируется за полный период t±. Это аналогично компенсации в рассмотренном ранее случае продольного инварианта /. Уравнение D.61) показывает, что поток Ф — адиабатический инвариант усредненного дрейфового движения. Существовало ние этого инварианта связано с тем, что силовые линии медленно меняющегося магнитного поля почти вморожены в плазму.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Потоковый инвариант» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
