Астрем [60] первый рассмотрел для релятивистского случая траектории частиц в гиперболическом магнито- статическом поле, ход силовых линий которого показан на рис. 2.8. Здесь приведены только некоторые его результаты для нерелятивистской частицы. Магнитное поле определяется соотношением В = 2^с0(у9 *,0), B.119) где выбрана прямоугольная система координат, a c0/q — положительная постоянная величина. При этом получим уравнение движения w = 2с0 (—xw2, ywx, xwx — ywy). B.120) Благодаря симметрии относительно оси г, компонента уравнения движения вдоль этой оси легко интегрируется wg = c0(x* — y*)-cu c^cM — yD — w^. B.121) Поскольку, 'согласно уравнению B.119), (В. v)wg --= 2с0В(х, -у, 0) = 0, B.122) 48 wz на юиловой линии магнитного поля постоянна. Из закона сохранения энергии следует w2=wl> что вместе с условием B.121) приводит к следующему результату 0< o?-f w2y= w20 — wl = lw0 — c0(x2 — y2) + d] X XlWo + Coixt-y^-d], B.123) который можно использовать для определения запрещенных областей. Граница между разрешенными и запрещенными областями задается двумя гиперболами Х2 _ у2 = с±±_^о B.124) Ограничимся движением, которое происходит только в плоскости */ = 0, так что wy = 0. В тех точках, где wx также обращается в нуль, х = ±Щ^, B.125) и четыре знака следует выбирать независимо друг от друга. Согласно условию B.125) имеется три возможности. Рассмотрим положительные значения q. 1. Четыре действительных корня. В этом случае | й | > >Wq и Ci>0. Введем параметры Г с* = ¦ 6 ^® *t ' , OB '*. w z (нулевая 6® j OB г(нупедая линия) линия) Рис. 2.8. Движение в гиперболическом магнитном поле: а — форма силовых линий поля; б — пример траектории для первого случая. Существует два значения х2, для которых х в соответствии с уравнением B 114) обращается в нуль; в — пример траектории для второго случая. Имеется только одно значение х2, при котором *=0. V 2w0 и новые безразмерные переменные cl= \-с\ *=4-кУх' f Bc0wt)'l' t B.126) B.127) 49 Для wy=0 уравнение B.123) дает следующий результат (%rj = (l~x'2)(x''-cl). B.128) Решением этого уравнения F1] является х' =dnt\ B.129) где dnt'— эллиптическая функция. Тогда из уравнения B.121) получим Z = W0+ *<°>o(dn4>-l) BЛ30) 4 Вводя dz/dt' вместо г, это соотношение можно проинтегрировать, 'в результате чего получаем znt' - ( 2г«л X1/. Z = с\С? где эллиптическая функция Якоби znt' периодична с периодом 2/С, а С и К — эллиптические интегралы, определение которых можно найти, например, в работе [en.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Гиперболическое магнитное поле» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
