Полная производная по времени от произвольной функции x=x(qkyphJ) равна dt ~ dt +ЦдЯк *+ dpk Р*)" di + k где использованы канонические уравнения B.56) и B.57). Выражение {%,Я}, определенное последними двумя членами равенства B.59), называют скобками Пуассона от % и Я. Если величина х не зависит явно от времени, а скобки Пуассона от % и Я обращаются в нуль, то полная производная от % по времени равна нулю. В этом случае х будет интегралом движения. Важным частным случаем является отсутствие явной зависимости от времени у гамильтониана. Согласно выражению B.59), гамильтониан оказывается тогда интегралом движения, и, какие бы канонические переменные qh, рк не использовались для описания системы, всегда H(qk,ph) =Я0=const. Следовательно, если произвести каноническое преобразование к новым переменным q'k , p'k> то новый гамильтониан будет равен Я' (<^, рк) = = H{qh,Pk)=Hu. В том случае, когда dH/dt=0, можно попытаться найти такое каноническое преобразование, чтобы в но- 28 вом представлении все импульсы p'k оказались бы интегралами движения, т. е. /^=0 и /^ ==(*& = const. Производящую функцию, использованную ранее, можно тогда записать в виде G= W(quq2,..., аь а2,...), и соответствующее преобразование B.58) приводит к виду dqk dik \ dq^ dq2 J = H0. B.60) Последнее из выражений B.60) является уравнением Гамильтона—Якоби для характеристической функции Гамильтона W(qu ...,9n,ai, ...,an), где п — число степеней свободы. Уравнение Гамильтона—Якоби это уравнение в частных производных для W с числом постоянных интегрирования, равным числу степеней свободы /г. В уравнении содержатся только производные от W. Поэтому если W — решение, то tt?+const также должно быть решением данного уравнения. При этом относительно новых импульсов известно только, что они должны быть постоянными. Мы вправе поэтому взять в качестве п постоянных интегрирования импульсы afe. Таким образом, полное решение уравнения Гамильтона — Якоби B.60) содержит п—1 нетривиальных констант интегрирования ос2, ..., ап и одну величину си, которая является аддитивной постоянной. Для определения этих п независимых постоянных интегрирования через начальные значения qu и pk можно воспользоваться первым из соотношений B.60), взятым в начальный момент времени t0. Определенная таким образом константа Н0 является просто комбинацией п постоянных интегрирования. Не теряя общности, можно выбрать р[ ==а\ = Н0. Решение W определено, таким образом, через начальные условия. Пользуясь далее первым из соотношений B.60), можно выразить импульсы pk через qu- Наконец каноническое уравнение B.56) для q'k записывается в виде q'k= дН'1дьк = dH0/d<xk, что равно нулю, когда кф\ и равно единице, когда k = l. Вместе со вторым из выражений B.60) это дает соотношение, из которого можно найти зависимость координат от времени. Таким образом, получено полное решение задачи. Преж- 20 де чем закончить этот раздел, следует сказать несколько слов о связи гамильтониана с полной энергией частицы. В простейшем случае, когда в качестве обобщенных координат можно выбрать прямоугольную систему, соответствующие импульсы, согласно уравнениям B.47) — B.51), имеют следующий вид: pk = mwk+qAk. B.61) Из выражения B.52) получаем тогда следующее выражение для гамильтониана Н = — mw2 -f- до + т%, B.62) которое равно полной энергии частицы. В частности, если dH/dt = 01 то гамильтониан равен полной энергии и в то же время является интегралом движения. Однако в общем случае не зависящий от времени гамильтониан не обязательно должен совпадать с полной энергией. Причина этого состоит в том, что лагранжиан содержит только работу внешних сил, а не работу сил связи. Когда силы связи зависят от времени, они могут совершать работу над частицей. Примером такого рода может служить скользящая по движущейся проволоке бусинка, положение и скорость которой описываются обобщенной координатой, измеряемой длиной дуги вдоль проволоки. В качестве другого примера можно указать движение заряженной частицы в зависящем от времени магнитном поле, когда положение частицы описывается координатами магнитного поля s, а, р, рассмотренными в разделе 1.2. В этом случае движущимися связями служат перемещающиеся в пространстве силовые линии.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Интегралы движения» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
