Перестановочная, сосисочная и винтовая неустойчивости
Перед тем, как обсудить общую линейную теорию неустой- неустойчивостей, рассмотрим простые примеры неустойчивостей на ин- интуитивном уровне. 8.1а. Перестановочная неустойчивость Пусть х = 0 есть граница между плазмой и вакуумом, и пусть ось z направлена вдоль магнитного поля В. Плазма находится в области х < 0, а вакуум — при х > 0. Предполагается, что вдоль направления х (см. рис. 8.1) приложена эффективная си- сила тяжести, отвечающая ускорению g. Из-за этой силы ионы и электроны дрейфуют в противоположных направлениях со скоростями MgxB _ mgxB G'e~ e В2 ' §8.1. Перестановочная, сосисочная и винтовая неустойчивости 117 Предположим, что из-за возмущения граница плазмы смещается от поверхности х = 0 на величину 5х = a(t)sm(kyy). g VG,i У e VQ.e Рис. 8.1. Дрейфы ионов и электронов и результирующее электрическое поле в перестановочной неустойчивости Разделение зарядов вслед- вследствие противонаправленных дрейфов ионов и элек- электронов приводит к появ- появлению электрического по- поля. Результирующий дрейф Е х В усиливает начальное возмущение, если ускоре- ускорение^ направлено из плаз- плазмы наружу. Из рис. 8.4, б видно, что вблизи от грани- границы плазмы магнитный по- поток внутри меняется местами с потоком снаружи плазмы, т. е. в принятой на рисунке геометрии наружный поток движется влево и заполняет возникшую область понижения потока внутри плазмы; неустойчивость такого типа называется перестановоч- перестановочной неустойчивостью. Поскольку возмущения границы плазмы при этом выглядят как желобки, вытянутые вдоль магнитных силовых линий (рис. 8.4, б), эта неустойчивость называется еще желобковой неустойчивостью. Дрейф вследствие ускорения приводит к появлению на границе плазмы поверхностного заряда с плотностью as = a(t) cos(kyyM(x) (8.1) (см. рис. 8.1). Электростатический потенциал ф наведенного электрического поля Е = — V0 определяется уравнением е±ду2 с граничными условиями д дф (8.2) дх -о = ф-о- В предположении ку > 0 решением служит Ф = (8.3) 118 Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости Скорость смещения границы d(Sx)/dt равна Е х В/В2 при х — О, где Е находится из потенциала (8.3). Эта скорость состав- ЛЯеТ da(t) a(t) /о.ч Поток заряда в у-направлении есть ne|vG,,| = p-f, где рт = пМ. Соответственно скорость изменения плотности заряда равна ^ cos(kyy) = ?fa(t)±Sm(kyy), (8.5) так что 2 = dt2 (eo )B2 Решение ищем в виде а ос expjt, тогда инкремент 7 будет Диэлектрическая проницаемость в случае низких частот (по сравнению с ионной циклотронной частотой) дается выражением eo9 (8.8) €о как это будет объяснено в гл. 10. Соответственно, для инкремен- инкремента 7 имеем [2] Ш (8-9) Если ускорение направлено наружу, возмущение с волновым вектором к, направленным поперек магнитного поля В, т. е. (к-В)-0, (8.10) неустойчиво. Если же ускорение направлено внутрь (д < 0), то 7 в (8.9) является мнимой величиной, и возмущение осцилляторно и устойчиво. Перестановочная неустойчивость возникает вследствие раз- разделения зарядов под действием силы (ускорения). В кривом магнитном поле, показанном на рис. 8.2, на заряженные частицы действует центробежная сила. Если магнитные силовые линии выгнуты наружу (рис. 8.2, а), то центробежное ускорение при- приводит к перестановочной неустойчивости. Если же они вогнуты, то плазма устойчива. Соответственно, плазма устойчива, когда §8.1. Перестановочная, сосисочная и винтовая неустойчивости 119 Вакуум ^g ,g Рис. 8.2. Центробежная сила вследствие кривизны магнитных силовых линий модуль магнитного поля В возрастает наружу. Другими словами, если В минимально в плазме, то такая плазма устойчива. Это условие устойчивости называется условием минимума В. Скорость дрейфа заряженных частиц равна Exb где п — единичный нормальный вектор, направленный из центра кривизны в данную точку на магнитной силовой линии, R — радиус ее кривизны. Вызывающее дрейф ускорение равно (8.11) R В этом случае инкремент неустойчивости: 7 Анализ перестановочной неустойчивости на основе линеаризо- линеаризованного МГД уравнения движения (8.32) с ускорительным чле- членом описан в работе [1]. Для возмущений с волновым вектором к поперек магнитного поля В, то есть при (к • В) = 0, причиной неустойчивости того же типа может быть другой механизм раз- разделения зарядов. Когда плазма вращается со скоростью v$ = Ег/В вследствие направ- направленного внутрь радиального электрического поля (рис. 8.3) и скорость вращения ионов меньше скорости вращения электронов, то возмущение неустойчиво. Есть несколько возможных механизмов замедления враще- вращения ионов. Столкновения ионов с нейтраль- нейтральными частицами вызывают замедление ионов и приводят к раскачке неустойчивости тре- трения о нейтралы (neutral drag). Рис. 8.3. Разделение зарядов из-за разли- различия скоростей ионов и электронов 120 Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости Если инкремент 7 ~ (gkyI/2 не очень велик, а ларморовский радиус ионов р1п достаточно большой, так что (VhJ > fa то возмущение стабилизируется [3]. Когда ларморовский радиус ионов становится большим, среднее на орбите электрическое по- поле возмущения Е, воспринимаемое ионами, ларморовский радиус которых велик, отличается от поля, действующего на электроны, поэтому скорости Е х В/В2 дрейфов ионов и электронов тоже различны. Возникающее при этом разделение зарядов имеет про- противоположную фазу по сравнению с разделением зарядов из-за ускорения и стабилизирует неустойчивость. 8.1Ь. Критерий устойчивости перестановочной моды, магнитная яма Предположим, что магнитные силовые линии имеют «хорошую» кривизну в области В и «плохую» — в области А (рис. 8.4, а). Тогда центробежная сила в А и В направлена BAB Плазма Вакуум а б Рис. 8.4. Разделение зарядов в перестановочной неустойчивости: а — нижний рисунок показывает участки с неблагоприятной для устойчивости (А) и с благоприятной (В) кривизной магнитной силовой линии; верхний рисунок изоб- изображает разделение зарядов вследствие ускорения вдоль желобка; б — сечение возмущенной плазмы в противоположные стороны, так что противоположно и разделе- разделение зарядов. Но эти заряды могут легко стечь вдоль магнитной силовой линии, так что задача устойчивости имеет теперь другой аспект. Рассмотрим возмущения, в которых магнитный поток и плазма области 1 меняются местами с магнитным потоком §8.1. Перестановочная, сосисочная и винтовая неустойчивости 121 и плазмой области 2 (перестановочные возмущения, рис. 8.4, б). Предполагается, что плазма имеет низкое давление, поэтому магнитное поле является почти вакуумным. Любое отклонение от вакуумного поля сопровождается возрастанием энергии возмущенного поля (это следует из уравнений Максвелла). Можно показать, что наиболее опасными являются возмущения с перестановкой равных магнитных потоков. Энергия магнитного поля в магнитной трубке, образованной силовыми линиями, равна где I — координата вдоль магнитной силовой линии, a S — се- сечение магнитной силовой трубки. При постоянном вдоль трубки магнитном потоке Ф = В • S энергия поля сводится к Изменение 5Qm магнитной энергии из-за перестановки потоков областей 1 и 2 есть 2 1 12 Если переставленные потоки Ф\ и Ф<± равны, то изменение энергии 5Qm равно нулю, так что возмущения с Ф\ = Ф^ наибо- наиболее опасны. Кинетическая энергия Q? плазмы в объеме У равна Qp = ~—л^-^—t' (8-14) ^р 7-1 7-1 где 7 — показатель адиабаты. Для адиабатического возмущения величина = const, то есть сохраняется в процессе перестановок. Изменение энергии плазмы = ^гт (pf2v2 - pi Vi + p[ Vi - P2v2), где р'2 — давление после перестановки из области Vi в V2, а р[ — давление после перестановки из области Уг в Vi. Вследствие 122 Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости (V \7 /V \7 тг] » Р1 = Р2 ( ту ) » и ^Vvi-p2V2V (8.15) Полагая P2 = Pi + <*P, можно записать ^Qp как SQp = Sp6V + jp{^. (8.16) Поскольку условие устойчивости имеет вид 5QP > 0, то доста- достаточное условие есть SpSV > 0. Выражая объем как V-}** = #}§, запишем условие устойчивости перестановочной моды в виде Обычно давление спадает наружу Fр < 0), так что для устойчи- устойчивости интеграл должен также убывать наружу [4], Л|<0. (8.17) Интеграл следует брать только по области, занятой плазмой. Пусть объем внутри магнитной поверхности ф есть V, а маг- магнитный поток в тороидальном направлении <р внутри магнитной поверхности ф есть Ф. Определим удельный объем U как U=%. (8.18) Если обозначить единичный вектор вдоль магнитного поля Ь, а нормальный единичный вектор элемента поверхности сечения dS (рис. 8.5) через п, то dV = §8.1. Перестановочная, сосисочная и винтовая неустойчивости 123 В Рис. 8.5. Удельный объем тороидального поля Интеграл по I берется вдоль маленькой трубки магнитного поля, величина Х^(Ь • n)idSiBi не зависит от / (сохранение магнитно- магнитного потока). Если магнитные силовые линии замыкаются после одного обхода тора, удельный объем U равен ? n)idSA dl U = ^' Поскольку §dl/Bi постоянен на одной и той же магнитной по- поверхности О, U сводится к Если магнитные силовые линии замыкаются после N обходов, величина U равна N Если магнитные силовые линии вообще не замыкаются, U дается выражением тт v l \dl U = lim — —. АГ-^оо N J В N Таким образом, U может рассматриваться как среднее значение \/В. Когда U убывает наружу, это означает, что величина В магнитного поля в среднем возрастает наружу, так что в плазме в данном случае реализуется так называемый средний минимум 1) В равновесии (см. гл. 6). — Примеч. ред. 124 Гл. 8. Магнитогидродинамичесше неустойчивости В. Другими словами, условие устойчивости перестановочной неустойчивости сводится к условию среднего минимума В, Если величина U на магнитной оси и на наиболее дальней магнитной поверхности есть Щ и Ua соответственно, то глубина магнитной ямы, —AU/U, определяется как AU _ Up-Ug и и0 ' (8.21) 8.1с. Сосисочная неустойчивость (перетяжки) Рассмотрим цилиндрическую плазму с резкой границей. Внутри плазмы существует только продольное магнитное поле BZf а вне плазмы — только азимутальное поле Но = 1г/2тгг, связанное с током в плазме Iz. Исследуем азиму- тально симметричное возмущение плазмы, напо- напоминающее перетяжку на сосиске (рис. 8.6). Ко- Когда радиус плазмы а изменяется на величину 6а, сохранение магнитного потока и тока в плазме дает 6BZ = -Bz — , 6Ве = -Во — . а Продольное магнитное поле внутри плазмы про- противодействует возмущению, тогда как внешнее азимутальное поле дестабилизирует это возму- Рис. 8.6. Неус- щение. Различие 5рт в магнитных давлениях тойчивость пе- о2 «х о2 г ретяжки 6рт = - 1 —. А^о а Mo a Плазма устойчива, если 8рт > 0 при 6а < 0, так что условие устойчивости сводится к Bz > —. (8.22) Такой тип неустойчивости называется сосичной неустойчиво- неустойчивостью, или неустойчивостью перетяжки. 8.Id. Винтовая неустойчивость (змейки) Рассмотрим возмущение, которое изгибает плазменный шнур в виде змейки, так, как показано на рис. 8.7. Конфигурация §8.1. Перестановочная, сосисочная и винтовая неустойчивости 125 Рис. 8.7. Неустойчивость змейки плазмы такая же, как и в предыдущем подразделе, то есть рез- резкая граница, продольное поле внутри и азимутальное снаружи. Обозначим характерную длину возмущения через Л, а его радиус кривизны — R. Продольное магнитное поле действует на плазму как возвращающая сила вследствие возникающего продольного натяжения; эта возвращающая сила, действующая на плазму длины Л, равна 2щ?а R' Азимутальное магнитное поле увеличивается на внутренней (вогнутой) стороне плазменного шнура и дестабилизирует его. Чтобы оценить эту дестабилизирующую силу, рассмотрим ци- цилиндрическую боковую поверхность радиуса А вокруг плазмы и две плоскости А и В, проходящие через центр кривизны (см. рис. 8.7). Сравним вклады магнитного давления на поверхностях, замыкающих элемент змейки. Вклад магнитного давления на цилиндрической поверхности пренебрежимо мал по сравнению с этим вкладом на плоскостях А и В. Вклад магнитного давления на плоскостях А и В есть Л J 2/i0 Л В2в{а) х — = 2R 2R 2/i0 А Л - х —. a R Соответственно (8.23) 126 Гл. 8. Маенитогидродинамические неустойчивости — условие устойчивости [3]. Однако справедлив баланс давле- давлений, 2 2 так что возмущения с большой А неустойчивы. Этот тип неустойчивости называется винтовой неустойчивостью, или кинк-неустойчивостью 0.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Перестановочная, сосисочная и винтовая неустойчивости» з дисципліни «Основи фізики плазми і керованого синтезу»
