У каждого линейного оператора есть так называемые собственные числа. О том, что это такое, – чуть позже. Сначала же –
Множество собственных чисел линейного оператора называется его спектром. Процедура нахождения собственных чисел оператора связана с проблемой приведения его матрицы к каноническому (простейшему) виду. При смене базиса матрица, как известно, изменяется. Естественно поэтому, что возникает вопрос: существует ли такая простая матрица (или тип матриц), к которой (или к которому) можно было бы привести любую матрицу путём изменения базиса? Ответ на этот вопрос таков. Единой универсальной матрицы, к которой можно было бы привести любую матрицу, не существует. Однако всякую матрицу можно привести к диагональной, у которой все элементы равны нулю, за исключением тех, которые расположены на главной диагонали. Эти элементы называются диагональными, для каждого из них номер строки и номер столбца, к которому данный элемент относится, совпадают. Вот как выглядит диагональная матрица: . Диагональная матрица и есть тот канонический вид (каноническая форма), к которому можно путём замены базиса привести любую матрицу. Два замечания. Во-первых, для каждой матрицы существует свой базис, в котором она превращается в диагональную. Данный базис называется собственным базисом матрицы (оператора), а каждый вектор этого базиса называется собственным вектором матрицы (оператора). Во-вторых, диагональные элементы, из которых построена каноническая матрица каждого линейного оператора, специфичны именно для данного оператора. Они как раз и называются собственными числами оператора. Прежде, чем перейти непосредственно к процедуре определения собственных чисел и собственных векторов линейного оператора, следует выбрать обозначения. Важнейшее свойство собственных векторов состоит в том, что каждый из них связан с каким-то собственным числом оператора. Поэтому обозначение собственного вектора должно быть таким, чтобы оно содержало в себе то собственное число, с которым связан этот вектор. Выше уже отмечалось, что векторы в квантовой механике (векторы состояний) – это представители пси-функций, и поэтому они обозначаются . Тогда собственный вектор оператора , соответствующий собственному числу a, естественно обозначить или для краткости просто . Итак, процедура определения собственных чисел и собственных векторов линейного оператора состоит в следующем. Собственные числа a оператора находят, решая алгебраическое уравнение , (2.18) где I – единичная матрица, Det означает определитель матрицы. Два замечания к этой формуле. Во-первых, матрица , входящая в (2.18), – это отнюдь не каноническая матрица оператора, а та конкретная матрица, которая является представителем оператора. Если матрица оказалась диагональной, то это – просто счастливая случайность. В таком случае нет необходимости искать собственные числа матрицы – они стоят на её диагонали, а задача поиска собственных векторов вообще теряет смысл. Во-вторых, формула (2.18) применима, разумеется, лишь для операторов, действующих на функции дискретного аргумента. Для операторов же, действующих на функции непрерывного аргумента нужно использовать другое правило. О нём – чуть позже. Собственные векторы оператора являются решением уравнения, которое называется уравнением на собственные векторы оператора и имеет следующий вид: . (2.19) От этого матричного уравнения можно перейти к операторному, если заменить матрицу оператором , представителем которого она является, а вектор – функцией (a(x), представителем которой является этот вектор: . (2.20) Уравнение (2.20) является, разумеется, более универсальным, чем (2.19), – оно применимо как для функций дискретного аргумента, так и для функций непрерывного аргумента. Кроме того, именно оно определяет универсальный способ определения спектра линейного оператора. Те числа a, для которых уравнение (2.20) имеет нетривиальное решение, являются собственными числами оператора и составляют его спектр. Каждому собственному числу a соответствует одна или несколько собственных функций (a(x) оператора , которые являются решением уравнения (2.20). Итак, процедура нахождения спектра линейного оператора определена. Теперь важно выяснить, каким же может оказаться этот спектр. Прежде всего заметим, что он может оказаться дискретным или непрерывным. Во-вторых, в нём могут оказаться как действительные, так и комплексные числа. И в этом смысле особое место занимают самосопряжённые операторы.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Спектр линейного оператора» з дисципліни «Квантова фізика»
