Система уравнений C.6.17) обладает тем замечательным свойством, что она не содержит членов, ли- д и * д" * (д неиных относительно — • В уравнения входят либо члены ~ тг^т, либо ~ — oz ozz \oz ^ Очевидно, если сечение потока изменяется достаточно плавно, то роль таких членов должна быть мала. Поэтому можно построить приближение "плавных" течений, отбросив члены, содержащие производные по z. В результате получается система обыкновенных дифференциальных уравнений, в которую входят только производные по г (А. И. Морозов, Л. С. Соловьёв [72]). Однако не надо думать, что второе измере- ние безнадежно потеряно. Зависимость от координаты z входит теперь в постоянные интегрирования. Для того чтобы проиллюстрировать данный метод, рассмотрим простейший слу- чай течения квазинейтральной плазмы с т = 0 в собственном азимутальном маг- нитном поле (Hr = Hz = 0). В таком случае система C.6.16), C.6.17) может быть записана в виде: +Жг(п)+еФ = игШ; C.6.32а) We(n) -еФ = ие(фе); C.6.326) то or nr or O=-Ufe-—] C.6.32r) em 4ttp rH = ЫI- <фе) + Уо. C.6.32д) с Очевидно, приближение медленно меняющегося канала напоминает приближению пограничного слоя в теории вязких течений 0. В ряде случаев система C.6.32) имеет один интеграл и сводится к квадратурам. Для этой цели сложим попарно первые четыре уравнения C.6.32): М "т/ ч " / ' ч ¦ " / ' ч C.6.33а) 1) Однако в уравнения для вязкого слоя принципиально входит первая производная по z. Поэтому отбрасывание членов ~ д2/dz2 не приводит в этом случае к обыкновенным диффе- ренциальным уравнениям. 3.6. Бездиссипативные аксиально-симметричные течения 177 М |-L^i = с/;(^) + аде); (з.б.ззб) nr or nr or W = Wi(n) + We(n). C.6.33b) Продифференцировав теперь первое уравнение по г, а второе умножив на -^, вычтем полученные выражения друг из друга. В результате находим связь: Это уравнение заменяет второе из уравнений C.6.33), и система из C.6.33) и C.6.34) часто бывает более удобной, поскольку эта система уравнений первого порядка. Однако главное достоинство уравнения C.6.34) состоит в том, что оно имеет очень простой физический смысл и в ряде случаев интегрируется. Остановимся, прежде всего, на его физическом смысле. Учитывая C.6.32d), C.6.32e) и определение W: W = (dp получаем из C.6.34) уравнение радиального равновесия в медленно изменяющемся потоке: -б- [Р+-Б-] = —Л—• C.6.35) or \ 8тг) 4тгг Уравнение C.6.35) в плоском случае интегрируется в общем виде: Р+^=ф). C.6.36) О7Г В аксиально-симметричном случае вместо C.6.35) удобнее писать уравнение C.6.34), которое легко интегрируется при одном из двух условий: W = 0 или и^(фе) = const. В этих случаях задача полностью сводится к квадратурам. Дополним изложенную общую схему одним конкретным расчётом. Пусть течение изомагнитно: Ue = кфе C.6.37а) и изобернуллиево О Ui = U0- кфг. C.6.376) В таком случае уравнения C.6.34) и C.6.33b), описывающие течения, принимают вид: -<фг)+С1(г)-, C.6.38а) М ^ 2п2г2 \ дг = ^0 - C\{Z) = . F.0.660) 1) Иными словами, мы предполагаем, что во всем объёме потока величина интеграла Бернулли одна и та же: v2 H2 Г dp — + -: h — = 2 Атгр р 178 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы Отсюда видно, что скорость ионов при таком течении оказывается не зависящей от г. Нам удобнее поэтому будет вместо c\(z) пользоваться vq(z). Полагая в C.6.32е) Уо = 0, U'e = к, получаем В реальном случае при 7 = 5/3 разрешение этого уравнения относительно п доста- точно громоздко. Поэтому возьмём 7 = 2. Тогда W = *Ш. C.6.40) поо Здесь роо и поо ~~ некоторые начальные значения давления и плотности плазмы. При сделанном предположении п = Щ, C.6.41а) а2 где 1/ Mvl(z)\ 2 4тге2 poo to а лл*\ ^ ; а =-гг-г-Ь; ь = 2—- C.6.416) kzcz nz 2 Подставляя C.6.41) в C.6.38), получаем выражение для функции ионного потока: 2 1 а2 Здесь го(^) — постоянная интегрирования. Чтобы довести до конца решение этой задачи, нам нужно задать условия, с помощью которых можно будет определить две функции ^о(^) и ro(z). В простейшем случае электронного токопереноса, когда потоком ионов на стенки можно пренебречь, можно задать геометрию обоих элек- тродов — катода rk(z) и анода ra(z) — с помощью условий *l>i(rk(z), z) = 0; фг{га{г), z) = ф0 = const. C.6.426) Очевидно, первое условие удовлетворяется автоматически, если положить rk(z) = = ro(z). Однако подстановка второго условия C.6.426) в C.6.42а) приводит к ре- шению кубического уравнения для vo, поскольку щ ~ const. Кубическое уравнение всегда имеет один вещественный корень, поэтому рассматриваемая нелинейная кра- евая задача всегда имеет решение. Зная фг и п с помощью C.6.38а) можно найти и траектории электронов фе. Замечательной особенностью решения C.6.42а) является то, что оно описывает также течение с укороченным центральным электродом. В этом случае при z > 0 надо положить ro(z) = 0. Очевидно, мы получаем здесь область компрессии.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Метод "плавных" течений для системы» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
