Решение задачи Томаса — Ферми вариационным методом Ритца
При решении задачи вариационным методом Ритца можно предложить бесчисленное множество пробных функций, зависящих от различных вариационных параметров X. Подберем пробную функцию, исходя из следующих сообра- жений: потребуем, чтобы она примерно совпадала с решением уравнения Томаса — Ферми при г-^0 (эта область является наи- более существенной при решении всей проблемы в целом), а также имела бы сравнительно простой вид, допускающий при вычислении полной энергии точное интегрирование. В качестве такой пробной функции, удовлетворяющей этим требованиям, возьмем следующую: e-v^. B5.58) Эта функция уже нормирована на общее число электронов J ро (Рх = ^~ J У? e-v^ dr = N9 B5.58a) о и поэтому дополнительное условие B5.45) должно выполняться автоматически. При г-^0 пробная функция B5.58) изменяется по тому же закону (ро~'"-3/2), что и решение уравнения Томаса — Ферми {см. B5.57)]; этим, по-видимому, и объясняется, как мы увидим дальше, хорошее количественное совпадение результатов, най- денных, с одной стороны, с помощью пробной функции B5.58), а с другой — с помощью потенциала, удовлетворяющего урав- нению Томаса — Ферми. Потенциал, создаваемый электронами атома, при этом равен фэ e _ Z?l (! _ e-VIF _ yiF e~v^). B5.59) В этом нетрудно убедиться, подставив соответственно выраже- ния B5.58) и B5.59) для р0 и Фэ в уравнение Кроме того, учитывая выражение для Фя = —-, находим, *по общий потенциал удовлетворяет граничному условию B5.52) при r = r0-^oo, когда^плотность заряда, а вместе с тем экспонен- циальный член е~*кг° обращаются в нуль. Найдем, далее, выражение для кинетической энергии через вариационный параметр Я. Согласно формулам B5.43) и B5.58) имеем: § 25. Строение сложных атомов 37& Для потенциальной энергии взаимодействия ядра с электро- ном [см. B5.41)], а также для энергии взаимодействия между электронами [см. B5.41 з)] соответственно находим выражения: ZNe20 ZNelk B5.61) B5.62) B5.62) Складывая выражения B5.60) —B5.62), для полной энергия электронного облака B5.44) получаем: Е = Ак2 - ВХ, где Вариационный параметр Я, который играет роль обратной ве- личины эффективного радиуса атома, может быть найден из условия минимума полной энергии Е атома, т. е.-^- =0. Отсюда- находим: 9 loo 25/2 2/' 4 В частности, для нейтрального атома (N=Z) имеем: 4 Интересно отметить, что численное интегрирование уравнения Томаса — Ферми приводит к весьма близкому значению для энергии атома: Ет'~ф = - 0,769 ... ~- Z?A = ~ 20,94Z?/3 эв. B5.66а) Последнее выражение, взятое со знаком минус, характери- зует полную энергию связи (ионизации) нейтрального атома, т. е^ энергию, необходимую для удаления всех электронов из атома.. ЧАСТЬ III ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ Эти теоретические значения хотя и дают весьма разумные ре- зультаты даже для атома водорода, но все же они несколько превышают соответствующие экспериментальные значения, при- чем с увеличением Z относительная ошибка уменьшается (см. табл. 25.2).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Решение задачи Томаса — Ферми вариационным методом Ритца» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
