Вариационные методы, развитые в ра- ботах Ритца, Хиллерааса и других, были с успехом использо- ваны для нахождения энергий основных состояний атомов. Как известно, средняя энергия системы может быть найдена с помощью формулы | B3.44) Если волновую функцию представим в виде Ч> = 2С„фя, B3.44а) где коэффициенты Сп характеризуют вероятность пребывания электрона в состоянии п, то, как было показано в § 7, среднее значение энергии определяется формулой [см. G.13)]: (E) = ^\CjEn. B3.45) П Заменяя в последней сумме каждое собственное значение Еп наименьшим собственным значением Ео и принимая во внима- ние, что для нормированных функций находим, что Ео < J ^*Щ сРх. Наименьшее же значение интеграла J i|)*Hi|) йгх = ?шш дает воз- можность определить верхний предел энергии основного состоя- ния системы Ео < ?MiIH. B3.46) Вариационный метод можно использовать в том случае, ко- гда дополнительная энергия взаимодействия ?* соизмерима с энергией Е° нулевого приближения, благодаря чему метод воз- мущений не может дать хороших результатов. При решении задачи вариационным методом в гамильто- ниане Н уравнения B3.7) можно оставить на равных правах не только основную часть, но и дополнительную энергию взаимо- действия V'. Затем следует подобрать пробную функцию г|) как функцию некоторых параметров таким образом, чтобы интеграл мог быть вычислен точно. После этого энергия Е становится функцией введенных параметров. Минимальное значение эюй функции должно приближаться к действительному. 332 ЧАСТЬ III ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ Наибольшая трудность в этой задаче заключается в выборе дробной функции. При выборе ее используется любая доступная информация о свойствах системы. В общем случае нельзя указать определенного выбора проб- ной функции. Здесь порой вопрос решает изобретательность или, точнее, физическая, а также математическая интуиция автора. Очень часто пробные функции подбираются таким образом, чтобы они хотя бы по форме напоминали решения уравнения без возмущения. Конкретно с помощью вариационного метода решим задачу об определении низшего энергетического состояния атома гелия (Хиллераас, 1927). Мы только что показали, как эта задача решается методом теории возмущений, и поэтому сможем срав- нить результаты обоих методов В качестве пробной функции Хиллераас выбрал функцию основного состояния атома водорода B3.37), заменив в ней за- ряд Z некоторым эффективным зарядом Z''. Величина Z' и пред- ставляет собой тот неизвестный параметр, который следует опре- делить из вариационного принципа. Пробная функция так же как и функция B3.37), нормирована на единицу, по- скольку ее нормировка не зависит от значения I'. Гамильтониан же Н в соотношении B3.44) должен включать не только гамиль- тониан Н° нулевого приближения, но и потенциальную энергию возмещения. Тогда имеем: § 23. Теория атома гелия без учета спиновых состояний 333 Поскольку интеграл B3.506) точно совпадает с интегралом B3.38), если в последнем положить Z = Z\ для {V) согласно B3.39) имеем: В формуле B3.50) величина G^) представляет собой сред- нее значение кинетической энергии водородоподобного атома с порядковым номером Z', когда электрон находится в низшем состоянии. Это среднее значение, как известно, связано с соответствую- щей полной энергией водородоподобного атома соотношением <7\> =-?, = 4нГ- B3'52) Точно так же мы получили бы среднее значение для потен- циальной энергии водородоподобного атома, которая, как из- вестно, равна удвоенной полной энергии ({Vi) = 2E\), если в формуле B3.50а) вместо Z поставили бы Z'. Следовательно, можем написать: <У1> = ^2?,= -^. B3.53) Отсюда для среднего значения энергии согласно формуле B3.49) находим выражение Е (Z') = — (z/2 - 2ZZ' + ?Z/), B3.54) До \ о / являющееся функцией параметра Z'. Определим теперь значение параметра Z', соответств\ющее минимуму энергии системы. Дифференцируя выражение для ?(Z') no Z' и приравнивая нулю полученное выражение, находим: L - L 16 . Отсюда для минимальной энергии электронов в атоме гелии получаем: 2 е1 / 5 5 \2 е 1 ) J L 1_ ) JL 16/ а0 * При зтом для энергии ионизации имеем: /7li(>11 _ р г-vmh _ Р0 [72 ° 7 -I ~ I ЧАСТЬ III ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ В частности, в случае атома гелия (Z = 2) 2 ?ИОН~0,85 —. B3.56) п0 Это значение значительно ближе к экспериментальному [см. B3.43а),], чем B3.43), найденное методом теории возму- щений. Хиллераас впоследствии получил еще лучшее совпаде- ние с экспериментом, вводя не один, а несколько вариационных параметров. Результат B3.55) для Ешжя находит простую физическую интерпретацию, а именно: действие одного электрона на другой сводится к экранировке положительного заряда ядра. Вариационный метод можно использовать также для на- хождения верхнего предела энергий одного или нескольких возбужденных состояний.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вариационный метод» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
