Как следует из •§ 19 [см. A9.24) и A9.25)], волновая функция частицы с уче- том спина имеет вид: ^-RmY\L B0.2) Здесь У/Л— шаровой спинор, причем при j = t + — спин парал- лелен орбитальному моменту, а при ; = I — у— аитипаралле- лен; Rru—радиальная часть волновой функции. Хотя решение B0.2) формально относится к нулевому при- ближению, однако оно может быть использовано для определе- ния энергетических уровней с учетом членов порядка ( —) , которые содержат спин-орбиталыюе взаимодействие, пропор- циональное (LS) [см. A9.64)]. § 20. Тонкая структура спектра водородоподобного атома 281 Это связано с тем обстоятельством, что с оператором спин- орбитального взаимодействия коммутирует лишь составляющая полного момента J2 [см. A9.11) и A9.12)], а решение B0.2) как раз и является собственной функцией этого оператора *. Поэтому решением B0.2) можно пользоваться, когда на атом не действуют еще какие-то внешние возмущающие силы, по порядку величины превышающие спин-орбитальные. Иначе спин-орбитальная связь, как говорят, рвется, и соотношение между шаровыми функциями, входящими в B0.2), должно быть установлено исходя из новой постановки задачи. Шаровые спиноры, так же как и шаровые функции, удовлет- воряют уравнению ^.Л=-'('+01',»; <20-3> поэтому, учитывая равенство A1.17), для определения радиаль- ной функции в равенстве B0.2) находим такое же уравнение, которое было установлено в нерелятивистской теории Шре- дингера 2 /2mo?° 2m0 Zel /(/+ Волновая функция B0.2) полностью определяет правила от- бора для всех квантовых чисел: правила отбора для квантовых чисел /, / и т3 задаются формулой A9.38), а правила отбора для главного квантового числа я, очевидно, будут такими же, как и в теории Шредингера [см. A3.68)]. Учитывая все это, приходим к следующим правилам отбора в теории водородопо- добного атома с учетом спиновых эффектов: А/=±1, Ду = 0, ±1, Дш/ = 0, ±1, Ля— любое целое число. B0.4> В данной задаче, зная нулевое приближение волновой функ- ции B0.2)> а также дополнительную энергию взаимодействия, описывающую релятивистские [см. A9.59)] и спиновые [см. A9.64) и A9.65)] эффекты, мы можем найти соответствующую поправку к энергии B0.1) нулевого приближения. 1 В связи с этим заметим, что решение в нулевом приближении мы могли бы выбрать также в виде ¦ -Л*!?. B0.2а) где К™- шаровая функция. Однако выражение B0.2а) является собственной функцией оператора Lz, который не коммутирует с оператором спин-орбигаль- бого взаимодействия. Поэтому решение B0 2а) оказывается не приюдниш для вычисления тонкой Сфуктуры, обязанной, ъ частноеш, сшш-орбшсыр- ному взаимодействию. 282 ЧАСТЬ II РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Согласно формуле A9. 59) релятивистская поправка к энер- гетическим уровням равна: В рассматриваемом случае 2ш0 \ п г / ' 2т0 \ г /' это дополнительное взаимодействие не зависит от сферических углов Ф, ф. Поэтому, учитывая, что при интегрировании по те- лесному углу |dQ(F|{i)+ yffi=l B0.7) для дополнительной энергии, характеризующей релятивистские эффекты, получаем: А?рел = - е2 где а =-7^-^7137—постоянная тонкой структуры. При выводе последней формулы мы воспользовались равен- ством A3.29а), согласно которому / _,\ Z 1 2RhZ Г еоп ,-2\ -( z \2 Формула B0.8) точно совпадает с выражением для дополни- тельной релятивистской энергии, которая была вычислена в гом же приближении при помощи релятивистского уравнения Клей- на— Гордона [см. A7.31)]. Аналогичным способом с помощью формулы A9.64) найдем дополнительную энергию, обязанную спин-орбитальному взаимо- действию ^*). B0.9) Воспользовавшись далее для (г 3) выражением A3.29а): Наконец, для энергии, соответствующей контактному взаимо- действию, согласно A9.65) получаем: § 20. Тонкая структура спектра водородоподобного атома 2&& 1 Кстати заметим, что формула B0 15) для контактного взаимодействия может быть получена как предел выражения B0.10) для спин-орбитального взаимодействия при /->0, если в последнем отбросить множитель 6/0, ограни- чивающий его применимость Поэтому многие авторы получают формулу тон- кой структуры, не вводя предположения о существовании контактного вза- имодействия. Однако такое совпадение носи г «случайный» характер, по- скольку в числителе формулы B0 10) мы имеем для s-состояний всегда нуль, а в знаменателе нуль — только в нерелятивистском приближении. В ряде дру- гих задач, например при наличии в атоме ресколькнх Э1ектронов энергия, связанная с контактным взаимодействием, не является пределом выражения для спин-орбитальною взаимодействия. 4 ЧАСТЬ II РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Отсюда для дополнительной энергии, в которой учтены реля- тивистские эффекты, а также спин-орбитальные и контактные взаимодействия, находим: Д? = Л?рел + Д Подставляя сюда значение q из B0.11), имеем: '+? Учитывая оба результата B0.1) и B0.16), получаем формулу тонкой структуры спектра водородоподобного атома: BО.,7, Отсюда видно, что расщепление уровней пропорционально квад- рату постоянной тонкой структуры. Примечание Точное решение уравнения Дирака дает следующее обобщение формулы A7.30), учитывающей релятивистские эффекты на случай наличия также и спина: г 72п2 -1-V2 \B0.17а) Формула B0.17) может быть получена из B0.17а), если последнюю разло- жить в ряд по Z2a2 и ограничиться первыми двумя членами. Взяв минимальное значение / — "о"» мы найдем, что устойчивое движение в кулоновском поле точечного ядра согласно теории Дирака простирается до ZKp=137, в то время как в теории Клейна — Гордона оно было ограничено ZKp=7f-137 [см. A7.33)]. Такое увеличение ZFp связано с тем обстоятельством, что спи- новые эффекты несколько компенсируют релятивистские. Таким образом, устойчивое состояние (включая наинизшее) электрона в кулоновском поле \v = I (т. е. движение по круговым или эллипти- ческим орбитам) ограничено некоторым максимальным значением потенциаль- ной энергии (ZKp=137), что приводит к критической энергии ?Кр=—тосК При Z>ZKp в кулоновской потенциальной яме становятся возможным появления электронно-позитронных пар (парадокс Клейна), и проблема од- ного тела теряет свой смысл. В связи с этим следует заметить, что мы сможем получить устойчивые круговые орбиты (включая наинизшее состояние) при любых энергиях, есла § 20. Тонкая структура спектра водородоподобного атома 285 поместим электроны в постоянное и однородное магнитное поле (более подробно см. сборник «Синхротронное излучение». Мм «Наука», 1966, редак- торы А. А. Соколов и И. М. Тернов).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Учет релятивистских и спиновых эффектов» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
