Классическая релятивистская механика и уравнение Клейна — Гордона
Уравнение Шредингера, подробно рассмотренное нами, применимо для описания движения частиц, скорость кото- рых v значительно меньше скорости света с. Нерелятивистское волновое уравнение Шредингера неинвариантно относительно преобразований специальной теории относительности (преобра- зований Лоренца), поскольку координаты времени и простран- ства входят неравноправно: уравнение содержит первую произ- водную по времени и вторые производные по координатам, в то время как специальная теория относительности требует такой записи уравнения, чтобы пространственные и временные коорди- наты формально входили бы на одинаковых основаниях. Для того чтобы получить релятивистское волновое уравнение, будем исходить из классического релятивистского соотношения между массой и энергией, которые вначале запи- шем для свободных частиц: E=Vc2p2 + m20c*. A7.1) Далее следовало бы использовать тот же прием, что и при по- лучении нерелятивистского уравнения Шредингера, т. е. вместо энергии и импульса ввести операторы E^E=-±-t, /»->p = ?v. A7.2) Однако неизвестно, как операторы, стоящие под знаком квадрат- ного корня, должны действовать на волновую функцию. Поэтому при переходе от классического к волновому уравнению в реляти- вистском случае мы должны прежде всего избавиться от квад- ратного корня. Это можно сделать двояким путем: либо возвести обе части равенства в квадрат и получить скалярное уравнение Клейна—Гордона, либо с помощью матриц извлечь квадратный корень и получить спинорное уравнение Дирака, учитывающее наряду с релятивистскими (так же как и уравнение Клейна—- Гордона) еще и спиновые эффекты. § 17. Скалярное релятивистское волновое уравнение 24Ф В настоящем параграфе мы рассмотрим первый способ, раз- витый также и Фоком. Возводя обе части равенства A7.1) в квадрат, имеем: Е2-с2р2-т20с*^0. A7.3) Подставляя сюда значение операторов A7.2), мы найдем уравнение Клейна—Гордона для свободной ча- стицы1: -Ъ2-^- ту ) ф = 0. A7.4) При наличии электромагнитного поля вместо A7.2) следует под- ставить обобщенные операторы2: Е+?еФ Тогда получаем релятивистское уравнение при на- личии поля В отличие от уравнения Шредингера релятивистское волно- вое уравнение A7.6), так же как и классическое выражение A7.1), инвариантно относительно преобразований Лоренца, по- скольку время и пространственные координаты входят фор- мально в уравнение A7.6) на равных основаниях, и равенство A7.6) может быть записано в релятивистски инвариантной форме (Р*2-Р2 где Р - с 1 В уравнении A7.4) волновая функция х\) зависит не только от радиус- вектора г, но и 01 времени t. Однако читатель легко может сообразить, за- висит ли волновая функция от t (например, в уравнении стоит производная по времени). Поэтому в дальнейшем зависимость *ф от / мы, как правило, будем указывать только в том случае, когда это далеко не очевидно. 2 В классическом случае при наличии поля вместо соотношения A7.1)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Классическая релятивистская механика и уравнение Клейна — Гордона» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
