Прежде всего найдем поправ- ку к энергии системы во втором приближении теории возму-* щений. Ограничиваясь в разложениях волновой функции -ф и энер- гии Е [см. A5.3)] членами до второго порядка малости включи- тельно и подставляя их в уравнение Шредингера A5.2а), полу- чаем для второго приближения (El - Н°)С = -(?;- V'№ - Е'Ж- A5.83) Учитывая, что решение я|?°* однородного уравнения должно быть ортогональным к правой части и что выражение для i]^ задает- ся формулой A5.22), находим: A5.84) Здесь значение для V'n'n определяется формулой A5.15). При этом мы воспользовались равенством Vnn' = Vn'n, имеющим место для эрмитовых операторов. Заметим, что поправка A5.84) второго приближения к энер- гии наинизшего состояния всегда отрицательна, поскольку все остальные уровни Е% лежат выше Е°п, т. е. ЕоП'>Еоп. Применим полученную формулу для определения энергети- ческого спектра ангармонического осциллятора. Допустим, что частица находится в потенциальной яме с по- тенциальной энергией V(x). Поместим точку положения равновесия в начале крординат V'(x)=0 (при х=0) и возьмем такой отсчет потенциальной энергии, чтобы в точке равновесия она обращалась бы в нуль A/@) =0). Тогда, раскладывая потенциальную энергию в ряд, найдем: VU)-F@) + xV@) + ~ V"{0) + ~[V///{0) + ~ К^@)+ .... § 15. Стационарная теория возмущений и ее простейшие приложения 235 Учитывая, что V @) = V' @) = 0, и полагая (в случае устойчи- вого равновесия в точке х = 0) -1-у'"@)-а, - т. е. решая задачу не в нулевом приближении, а с учетом чле- нов второго порядка, мы будем иметь так называемый ангар- монический осциллятор, нашедший применение в тео- рии молекул. Уравнение Шредингера для ангармонического осциллятора принимает вид: ^1 ^(^1) = 0) A5.85) где энергия возмущений V' = ax?+px*t а постоянные а и р не зависят от Ь. Найдем энергию возмущений с учетом членов порядка Ь2. Как известно, энергия гармонического осциллятора (нулевое приближение) равна: () A5.86) Рассматривая энергию V как энергию возмущения, в вом приближении находим: Е'п = Vnn = a (х\п + р (х\п. A5.87) Легко показать, что | г|)л поскольку подынтегральное выражение — нечетная функция. При вычислении же матричного элемента $(х4)пп можно вос« пользоваться правилом умножения матричных элементов [см. ^(8.89)]. Тогда будем иметь: (х\п = S (x2U (х\п = ((х\, п„2Т + ((х\, nf + ((x\t n+2f. Подставляя сюда значения для (x2)nh из A0.75), находим для энергии возмущения в первом приближении Е'п следующее выражение: Егп « A h2 _?^ (П2 + п + 1 \ A5.88) Однако наша задача решена еще не до конца, так как вклад, вносимый первым членом энергии возмущения ах3, во втором приближении пропорционален x%/h~b2 и поэтому также должен 6 ЧАСТЬ Г* НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА быть учтен. Что касается вклада во втором приближении от члена рл:4, то он пропорционален хЦЬ ~ Ьъ и поэтому в рассма- триваемом приближении может быть отброшен. Энергия второго приближения теории возмущения может быть вычислена по формуле A5.84): п' Отличными от нуля будут только следующие матричные эле- менты [см. (8.68) и A0.75)]: A5.89) A5.90) где Отсюда находим: Формулы A5.88) и A5.91) дают ангармоническую поправку к энергии осциллятора с учетом членов порядка й2.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Ангармонический осциллятор» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
