Асимптотическое решение в случае короткодействующих сил
В общем виде уравнение Шредингера для любых центральных сил согласно A1.21) имеет вид2: ^)'==0, A2.53) где и =rR'r В случае V — 0 (свободное движение — это простейший случай короткодействующей силы) решение определяется равенством A2.41), которое, учитывая асимптотическую формулу A2.51) в случае больших г—»оо, дает —*—. A2.54) 1 См, например: Р О Кузьмин Бесселеьы функции М —Л, 1935, стр 65 2 Через Ri мы будем обозиачаг^ радиалы^ю функцию сбссодйого дви- жения. 174 ЧАСТЬ I. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВЛЯ МЕХАНИКА Поскольку решение A2.54) принадлежит непрерывному спектру, коэффициент Сг может быть найден из нормировки на б-функцию J T*Rt(kr) Rt(k'r)dr = 6(fe- k'). A2.55) о Отсюда, принимая во внимание, что Сч, ОО J sin (kr - -у-j sin Ik'r — -y-j dr = у J cos (ft — ft') r dr — о о - у (- 1)' J cos (k + k') r dr - -2. мы найдем: C/ = fe. A2.56) Поэтому нормированное радиальное решение для случая свобод- ною движения для достаточно больших значений г принимает вид sin \kr"\\ (i2-57) Зная решение для свободного движения, мы сможем найти также асимптотическое решение для других короткодействую- щих сил при условии, что V® при г~~>0 увеличивается слабее, чем г, а при г—>-оо, наоборот, сильнее, чем г~2 (например, по экспоненциальному закону). Зависимость асимптотического выражения от синуса при на- личии короткодействующей силы мы можем написать сравни- тельно просто, а именно отбрасывая при г-^оо в A2.53) члены, пропорциональные V (г) и * , мы имеем1: ~ 1 Г L. A2.58) Единственно неопределенной величиной является фаза б/, кото- рая должна быть пропорциональна короткодействующей сите V, так как при У = 0 она обращается в нуль (свободное движение). Наша задача заключается в том, чтобы найти б/ пока что в линейном приближении по V. 1 Условия нормировки в этом случае будут такими же, как и для сво- бодного движения Поэтому нормировочный коэффициент мы оставляем та- ким же, как и в формуле A2 57). $ 13. Теория водородоподобного атома (проблема Кеплера) 175 Для этого мы умножим уравнение A2.39) на и\ а уравнение A2.53) на «и вычтем одно уравнение из другого. Тогда будем иметь: du d Интегрируя последнее выражение от 0 до достаточно больших значений г, мы имеем право в левую часть A2 59), зависящую после подстановки пределов только от конечного значения г, под- ставить асимптотические решения A2.57) и A2.58). После простых преобразований мы найдем: О Верхний предел интегрирования в правой части для короткодей- ствующего потенциала мы имеем право распространить до бес- конечности и при малых значениях 6/~sin6/ ограничиться лишь линейными членами относительно V. В правой части последнего равенства в флнкции и' мы вообще можем пренебречь 1/, т. е. положить и' = и. Тогда, подставляя в правую часть равенства выражение A2.41) и полагая Ci = k [см. A2.56)], получаем: "IF dr- 0 2-6°) Формулы A2.58) и A2.60) и определяют асимптотическое по- ведение радиальной части волновой функции при малых значе- ниях bi Fг<*С1).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Асимптотическое решение в случае короткодействующих сил» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
