Как мы указали а предыдущем параграфе, наблюдаемые физические величины^ т. е. величины, которые мы можем измерять, следует математи- чески характеризовать лишь средним значением, вычисляемым по формуле G.4). Покажем, что если средним квантовым значениям соответ- ствуют некоммутирующие друг с другом операторы, ю в рам- ках квантовой механики они не могут быть одновременно вы- числены точно. Наиболее важным в этом отношении является вычисление отклонения от средних значений операторов двух: канонически сопряженных величин: координаты х и импуль- са рх. В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая, когда волновая функция не зависит от времени (стационарный слу- чай). Тогда средние значения координаты и импульса могут быть найдены соответственно из соотношений: Прежде всего заметим, что," хотя средняя ошибка, или откло- нение от среднего, вычисляемая по формуле = J = (х) - (х) = 0, G.16) и равна нулю, это все же никоим образом не означает отсут- ствия других возможных положений частицы, отличных от (х), поскольку отклонения могут иметь относительно центра тяжес- ти (х) различные знаки и, следовательно, в среднем взаимна компенсировать друг друга. Поэтому отклонение от среднего значения следует характе- ризовать средней квадратичной ошибкой, которая" при любом отклонении от (х) имеет положительный знак. Эта средняя квадратичная ошибка для координаты может быть вычислена по формуле: = J G.17) Обращение в нуль средней квадратичной ошибки, например» ((ДхJ)=0, означает, что вероятность пребывания электрона 88 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА в пространстве отлична от нуля лишь при х = {х). В этом случае среднее значение равняется точному, т. е. соответствую- щая вероятность пребывания частицы будет описываться б-об- разной функцией. Аналогично для средней квадратичной ошибки по импульсу имеем: Чтобы установить связь между ((АхJ) и {(\рхJ), мы мо- жем без ограничения общности доказательства выбрать систему координат с началом в центре тяжести волнового пакета ((х) = 0), причем так, что она движется вместе с последним ({рх) = 0). В этом случае получаем: где ос— некоторая произвольная вещественная величина, не за- висящая от х. Последнее выражение можно представить в виде Рассмотрим следующий интеграл: Так как подынтегральное выражение в G.20) существенно положительная величина или нуль, то Условие G.23) накладывает определенное ограничение на коэф- фициенты Л, В и С. В самом деле, это соотношение будет иметь § 7. Статистическое толкование квантовой механики 89 место для любых вещественных значений а, если оно выпо i- няется при а = а0, отвечающем минимуму функции /(а). Значе- ние осо может быть найдено из условия -В = 0, т. е. В Поэтому минимальное значение /(а) равно: /мин = / (ао) = - -§¦ + С > 0. G.24) Отсюда следует, что неравенство G.23) имеет место для любых вещественных значений а, если выполняется условие ?2<4ЛС. Подставляя сюда значения для Л, В и С из G.22) и прини- мая во внимание G.19), находим соотношение между ((ДрхJ) и ((А^J): <(AxJ)<(ApJ2>>^. G.25) Это неравенство и представляет собой строгую формулировку соотношения неопределенности. Если учесть, что fxx — хрх = —ib !, то последнее соотношение можно записать в виде <(ДхJ> ((АрхJ) >±-(\рхх-хрх ?). G.26) Обобщая последний результат, мы можем вообще сказать, что если два оператора М] и М2 не коммутируют друг с другом,, то для них всегда имеет место соотношение неопределенности: {(ДМ,J) <(АМ2J) > { ( ! MtM2 - М2М, f), G.27) <(AM,J) = j Ф* (М, - (Mt)f ф (Рх9 (/=1,2). G.28) 4 где 1 Некоммутативное гь операторов р^ и х можно доказать с помощью* равенств: Отсюда следует: (рхх — хрх) -ф = — г^-ф, или в операторной форме: РлХ - хрл = - *?. G.25а) ЧАСТЬ Г НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Фиг. 7.1. Распределение плотности вероятности в координат- ном (а) и импульсном (б) пространствах: Если распределение в координатном пространстве (а) сужается, то рас* пределение в импульсном пространстве (б) расплывается. Как мы указывали, соотношение неопределенности является следствием корпускулярно-волнового дуализма, лежащего в основе квантовой механики, и не связано с субъективной сторо- ной опыта, т. е. с наблюдением. Эксперименты могут только подтвердить те выводы, которые из него следуют. Смысл соотношения неопределенности заключается в том, что распределение плотности по переменным, которым соответствуют некоммутирующие операторы, принципиально не могут одновре- менно иметь вид б-функции (фиг. 7.1). Более того, чем ближе к б-функции распределение вероятности по одной переменной, тем более размытым становится это распределение по другой. В пределе, когда, например, распределение по х, т. е. |г|)(х) \2, примет вид б-функции [((Ал:J) = 0], по импульсу рх оно станет таким, что для всех значений рх величина \у{рх) |2 будет посто- янной, т. е. {(АрхJ) = сю. Условие коммутативности двух операторов является необхо- димым условием того, чтобы соответствующие им физические пе- ременные могли быть точно вычислены одновременно.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вывод соотношения неопределенности» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
