Приближенный метод Веиягнеля — Крамерса — Бридлюэна (Метод ВКБ)
Этот метод решения, примени- мый лишь к одномерным задачам, получил название приближен- ного метода ВКБ. Будем считать, чго потенциальная энергия является сравни- тельно гладкой функцией х (фиг. 5.1). Для частиц с энергией Е весь промежуток изменения мы мо- жем разделить на две области. В первой области (х < х0) энер- гия Е больше потенциальной энергии: E>V, а во второй обла- сти (*>*о), наоборот, Е < V. Очевидно, что на границе этих двух областей (х = Хо) имеем Е = V(xq). Исходное уравнение E.36) в одномерном случае принимает вид S'2 - ihS" - 2m0 (E - V) = р2. E.44) Сначала найдем решение этого уравнения для первой области (Е > V), когда величина р2 > 0 играет роль квадрата классиче- ского импульса. Решение ищем s виде ряда 5 - E.45) ЧАСТЬ Т. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА где величина So не зависит от й, Si пропорциональна ft, S2 про- порциональна Ь2 и т. д. Подставляя ряд E.45) в уравнение E.44) и пренебрегая величинами, пропорциональными Ь2 и выше, полу- чаем S'o2 + 2S'QS[ - ihS% = р2. E.46) Приравнивая друг другу члены в левой и правой частях, не зависящие от Ь, а также пропорциональные Ь (при этом необхо- димо учитывать, что величина S\ пропорциональна ?),находим: E.47) Отсюда следует, что So = ± J р dx, S, = to In YJ. E.48) Поэтому, ограничиваясь членами порядка й, имеем: S==S0 + S,= ± J p</jc + /»lnV7- E.49) X Подставляя E.49) в E.36), находим следующее выражение для волновой функции в первой области (х < х0): [Azos(z + y) + Bcos(z + y')]. E.50) 7?= у р Точно так же для второй области (jc>jc0). b которой р2<0, получаем где1 E.52) o(K~?), А,ВУС, D — произвольные постоянные, а фазы у и y^Y мы мо- жем положить равными любым, но вполне определенным кон- кретным значениям (см ниже формулу E.55) с /г=±7з). Волновые функции E.50) и E.51) и представляют собой при- ближенные решения по методу В КБ. Из этих решений видно, что при Е > V волновая функция изменяется подобно, как в поген- 1 В случае если потенциальный барьер будет слева от особой точки, то при определении z и |г| мы должны поменять местами пределы интегриро- вания так, чтобы нижний ирет^л был меньше верхнего Таким образом, величины z и |г| всегда должны быть положительными. § 5. Нестационарное уравнение Шредингера 63 циальной яме [см. D.21)], т. е. по закону косинуса или синуса, а при V > Е подобно, как в потенциальном барьере, т. е. по типу экспоненциального закона [см. D.23)]. Сравнивая решения, найденные при Vo = const, с решениями, полученными в том случае, когда потенциальная энергия яв- ляется функцией х, мы видим, что переход от одних решений к другим заключается в замене площади прямоугольного барьера, образуемого осью х и осью, на которой отложена величина н _ —гпок^о- в \?__ ^ соответствующей площадью, учитываю- щей, что V является функцией х. Схематически этот переход можно изобразить следующим образом h л j-$\p\dx. E.53) Аналогичный переход можно сделать также и в случае потенци- альной ямы. Таким образом, конкретный вид зависимости потенциальной энергии от х не изменяет характера решения; последний опреде- ляется лишь знаком разности между Е и V. Решения E.50) и E.51) дают хорошее приближение лишь для областей, сравнительно удаленных от особой точки хОу где вели- чина р2 относительно велика. Вблизи же особой точки [х~> х0) величина р2—>О, и поэтому знаменатель в выражениях E.50) и E.51) обращается в нуль, а само решение становится расходя- щимся. Если бы мы могли выразить постоянные С и D через А и В, то найденное приближение было бы вполне достаточным для многих задач, так как область \х — х01 —^0 является сравни- тельно узкой. Однако соотношение между этими коэффициен- тами может быть найдено только в результате сшивания функ- ций, которое следует производить именно на границе областей, т. е. в точке х = х0 (под сшиванием мы будем понимать при- равнивание на границе области х = х0 волновых функций и их первых производных). Поэтому приближенное выражение для ф необходимо пред- ставить в таком виде, чтобы при больших р2 имело место соот* ношение E.50), а при х—*х0, когда -аЪ*(х — хо)9 E.54) приближенное решение удовлетворяло бы уравнению \|/' — а (х — хо) гр = 0. Ef54a) 64 ЧАСТЬ I. НЕРЕЛЯТИВИСТСКЛЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Как известно, при больших аргументах z косинус связан с функцией Бесселя порядка п при помощи соотношения При больших z (и любых п) решение E.56) в силу асимптоти- ческой формулы E.55) переходит в решение E.50), найденное по методу В КБ. Попытаемся подобрать порядок п бесселевой функции таким образом, чтобы решение E.56) удовлетворяло уравнению Шредингера не только при больших г, когда \х\У ^>|xoj, но и вблизи особой точки х->хо = О, т. е. при г->0, когда согласно E.54) имеем § 5. Нестационарное уравнение Шредингера 65 Для того чтобы сшить оба решения, мы должны найти асимп- тотические выражения E.60) и E.61) в области х—>хОу когда для бесселевой функции мы можем ограничиться лишь первым членом разложения ИГ E-62) Тогда решения E.60) и E.61) принимают соответственно вид: E.63) Сшивая оба решения в точке x=xQ, имеем: Учитывая асимптотические выражения как для обыкновенной бесселевой функции [см. E.55)], так и для бесселевой функции мнимого аргумента 1 ^ + 1/2)]. E-64) находим, что формулы E.60) и E.61) при больших z принимают вид j [^ cos (z - -у^ + В cos(z - -^JJ , E.65) E.66) 1 Строго говоря, асимптотика E.64) является неоднозначной (см. Ф. Морс и Г. Фешбах. Методы математической физики, т. I, ИЛ% 1958, стр. 583), но эта неоднозначность совершенно не сказывается на сшиванич решений с экспоненциальным убывающим множителем [см. E.68)], а для экспоненциально возрастающего решения [см. E.71)] дает правильно основ- ной член разложения. Неоднозначность асимптотики связана с разрывом Стокса, который в нашем случае дает E.64а) Асимптотика же E.64) равняется полусумме двух этих крайних значений, 5 Зак. 328 ЧАСТЬ Т НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА V V Фиг. 5.2. Квантование потенциальной ямы по методу В КБ. Полагая в последнем равенстве В = Л = -у=-, находим первую пару сшитых решений: E.67) 9-1 2 I E.68) для которых экспоненциально убывающее решение E.68) в об- ласти х>х0 представляет собой аналитическое продолжение си- нусоидального решения E.67) для области х<х0. Чтобы определить аналитическое продолжение экспонен- циально возрастающего решения (х>х0), мы должны положить В = -А = Ь. E.69) Тогда получим вторую пару сшитых решений:
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Приближенный метод Веиягнеля — Крамерса — Бридлюэна (Метод ВКБ)» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
