В классической электро- динамике большую роль играет уравнение непрерывности i| + div/=0, EЛЗ> которому подчиняются плотность заряда р и плотность тока /\ Соотношение E.13) представляет собой по существу универ- сальную запись закона сохранения заряда. Чтобы это показать, умножим соотношение E.13) на dzx и проинтегрируем его по всему пространству |f d*x + J div/ (Px = 0. E.14> Изменяя в первом интеграле порядок дифференцирования и интегрирования (это возможно, так как время здесь играет роль- параметра), а во втором переходя от объемного интеграла к по- верхностному, получаем: Если на бесконечности заряды, а также и токи отсутствуют, то поверхностный интеграл обращается в нуль, и мы будем иметь закон сохранения заряда е = J р Фх = const. E.16> Найдем теперь квантовые выражения для плотности заряда и плотности тока. Обратимся с этой целью к уравнению Шредин- гера E.3), которое запишем в виде ^) °- <517> Аналогично для комплексно сопряженного уравнения имеем: 0-f^) = 0. F.18) Умножая первое из них на г|з*(О> а второе на ty(t) и затем складывая оба уравнения, получаем: дГ {\ *(t) v & W v^ C> - V @ ^ V)} = о- E.19V 86 ЧАСТЬ I. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Сравнивая последнее уравнение с уравнением непрерывности E.13) и учитывая, что плотность заряда равна произведению за- ряда отдельной частицы е на плотность числа частиц, в данном случае равной плотности вероятности, будем иметь: E.20) Учитывая два последних соотношения для плотности тока, на- ходим: |^ E-21) Следует заметить, что для монохроматической волны плотность заряда Р = ег|)*ф E.22) и плотность тока j = "Йг{^ grad ф* "" ^ grad ф) E'23) не будут зависеть от времени. В случае вещественных волновых функций (г|)* = г|)) плотность тока всегда равна нулю. Например, для электрона, находящегося в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме (фиг. 4.3), выражение для плотности тока обращается в нуль (/ = 0), что является вполне естественным, так как колебания в потенциаль- ной яме, описываемые вещественными волновыми функциями, представляют собой по существу стоячие волны, а стоячие волны не могут образовывать потока частиц. Иное положение вещей мы будем иметь при исследовании свободного движения частицы, когда волновая функция соглас- но D.61) задается бегущей волной ^ = Ь"9/ге1рф. E.24) Подставляя это выражение для i?> в E.22) и E.23), для плот- ности заряда и плотности тока соответственно находим р -«М>- е, ^^ Отсюда видно, что если заряд распределен по всему объему с равной вероятностью, то его плотность, как и следовало ожидать, равна величине этого заряда, деленной на весь объем, а плот- ность тока связана с плотностью заряда таким же соотношением, какое имеет место в классической электродинамике. § 5. Нестационарное уравнение Шредингера 57 Выясним теперь физический смысл коэффициентов Сп, вхо- дящих в полное решение ф(/) волнового уравнения [см. E.4)]. Подставим для этого значения if>(/) в соотношение E.16), опре- деляющее сохранение полного заряда. Тогда, учитывая E.20), получаем: п' п Поскольку волновые функции должны удовлетворять условию ортонормированности имеем: 2 2„р=1. E.27) Отсюда непосредственно следует, что коэффициенты |СП|2 ха- рактеризуют вероятность пребывания частицы в квантовом со- стоянии п. Действительно, если точно известно, что частица на- ходится в состоянии по (Е = ЕПо), то все коэффициенты Сп, за исключением СП(, должны быть равными нулю, т. е. мы должны положить Сп = Ьпп0. Если частица имеет отличную от нуля вероят- ность нахождения не в одном, а в двух и более состояниях, то отличными от нуля будут соответственно два и более коэффи- циентов. При этом вероятность пребывания в том или ином со- стоянии характеризуется величиной |СП|2, в то время как плот- ность вероятности распределения их по пространству опреде- ляется |фп|2. В тех случаях, когда в пространстве имеется большое число, например N, частиц, то вместо E.27) имеем: H\Cn\2 = N. E.28) п При этом коэффициенты |СП|2 будут характеризовать распреде- ление частиц по различным квантовым состояниям.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Плотность заряда и плотность тока» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
