Условия, налагаемые на волновые функции. Собственные функции и собственные значения
Согласно Борну, волновой функции ty(t) следует дать статистическую (вероятностную) ин- терпретацию. В частности, квадрат модуля ty*(t)ty(t) = <ф*\|? играет роль функции распределения и характеризует плотность вероятности обнаружить частицу в момент времени / в объеме пространства с координатами, лежащими между г и г + dr. 1 Здесь и в дальнейшем волновые функции, зависящие от координат и от времени, будем записывать в виде г|з(/), а волновые функции, содержащие в качестве аргумента только координаты, — в виде ф. Полная волновая функция, зависящая как от пространственных, так и от временной координат, может быть найдена с помощью формулы D2). Полагая со = Е/Ь, имеем 1: § 4. Стационарное уравнение Шредингера 41 Если плотность вероятности \|)*i|? отлична от нуля только в ко- нечной части пространства, то можно с достоверностью считать, что частица локализована где-то в этой области, т. е. вероят- ность обнаружить там частицу должна равняться единице )*г|Л=1. D.10) Выражение D.10) называется условием нормировки. Сле- дует заметить, что не всегда область отличной от нуля плотности вероятности будет ограниченной. В некоторых случаях (простей- ший из них — свободное движение частицы) величина ф*^ не об- ращается в нуль во всем пространстве. В таких случаях инте- грал J 1|гфй3х расходится и условие нормировки требует несколь- ко другой формулировки (см. ниже). Перейдем теперь к общему анализу уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера D.8) представляет собой дифференци- альное уравнение второго порядка в частных производных. Его решение должно напоминать решение некоторых классических задач математической физики, например уравнения колебания струны и т. д. На волновую функцию -ф, как на решение, удовлетворяющее уравнению второго порядка типа Штурма—Лиувилля, должны: быть наложены следующие условия. Она должна быть непре- рывной и иметь непрерывную производную1; кроме того, она должна быть однозначной и конечной во всем пространстве, а также удовлетворять определенным граничным условиям. Эти требования приводят к тому, что решения волновых урав- нений, удовлетворяющие перечисленным выше условиям, сущест- вуют, вообще говоря, не при любых, а только при некоторых значениях параметра, получивших название собственных значений; в данном случае таким параметром является энер- гия Е с собственными значениями ?ь ?2, ?з, ... . Соответствующие этим собственным значениям решения волно* вого уравнения называются собственными функциями. Возможные значения энергии образуют так называемый энергетический спектр. Ниже мы увидим, что если 1 Требование непрерывности волновой функции и ее производной при- водит, в частности, к непрерывности плотности заряда и плотности тока [см. ниже E.20) и E.21)]. 42 ц А С Т Ь Т. НЕРБЛЯТИВИСТСКЛЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА движение частицы не ограничено в пространстве, то ее энергети- ческий спектр будет непрерывным. Если же положение ча- стицы в пространстве ограничено, то энергетический спектр будет дискретным. Покажем, что собственные функции \рп будут удовлетворять условию ортонормированности 1 D.11) где бпп' — символ Кронекера — Вейерштрасса, равный единице при п' = п (условие нормировки) и равный нулю при п' ч= п (условие ортогональности). Чтобы показать это, напишем урав- нение Шредингера для \ря и -ф*,: ^ = 0, D.12) Умножая первое из них на i):*,, а второе на (—ifj и складывая затем первое со вторым, получаем: Отсюда, учитывая, что где после интегрирования D.14) по всему пространству, находим J div Вагх + igo. {Еп _ Еп) J ^>п^ = 0. Di j 5> Принимая во внимание стремление ^-функции на бесконечно- 2 сти к нулю, получаем 2: J div Bd3x = | Bn dS = 0, 1 Здесь и в дальнейшем число интегралов должно равняться числу диф- ференциалов, а интеграл, стоящий без пределов, следует брать по каждой переменной в интервале от —оо до + °о 2 Поверхность 5 = 4лг2 стремится к бесконечности при г->оо Поэтому данный интеграл обращается в нуль, когда волновая функция *ф при г -> оо стремится к нулю быстрее, чем г. Для дискретного спектра это условие всегда выполняется, так как волновая функция я|з на бесконечности обра- щается в нуль, как правило, по экспоненциальному закону. Случаи же не- прерывного спектра мы исследуем особо. § 4 Стационарное уравнение Шредингера 43 т. е. вместо D.15) имеем: j0. D.16) Предположим теперь, что ЕпфЕП' (т. е. п'фп)\ тогда согласно D.16) должно выполняться равенство (условие ортогональности) = 0. D.17) Если же п' = п (или Еп~ЕП')у то последний интеграл от- личен от нуля; мы можем потребовать, чтобы он равнялся еди- нице (условие нормировки) ф;-фЛсРх»1. D.18) Таким образом, собственные функции г|)Ь \|J, ty3, •••, соответ- ствующие собственным значениям Еи Е2у EZi ..., действительно обладают свойством ортонормированности D.11), являющимся одним из важнейших свойств собственных функций. Примечание Условия ортонормированности D 17) и D.18) получены в предположении, что каждому собственному значению энергии соответствует только одно соб- ственное значение волновой функции ifc>n. Этот случай носиг название невы- рожденного При наличии же вырождения, когда одному и тому же значению энер- гии Еп соответствуют несколько волновых функций (например, две) г|)^ и yjp^t они могут оказаться и неортогональными друг к другу, т. е. Тогда составим из них такие линейные комбинации (в данном случае две), что новые волновые функции будут ортогональными друг к др\гу. Например, в случае вещественности величины S такими комбинациями являются следующие Поэтому при наличии вырождения мы можем всегда выбрать волновые функции таким образом, что условие ортонормированности примет вид итт" Один из наиболее важных примеров вырожденных функций встретится в § 12 (задача о ротаторе).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Условия, налагаемые на волновые функции. Собственные функции и собственные значения» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
