Можно ли заполнить твердыми шарами все пространство? Разумеется, нет — между ними всегда остаются свободные промежутки1. Доля про- странства, занимаемая шарами, называется плотностью их упаковки. Чем теснее расположены шары, чем меньше свободного места между ними, тем больше плотность упаковки. Когда же достигается максимальная плот- ность упаковки одинаковых твердых шаров? Ответ на этот вопрос дает ключ к разгадке «тайны» следов на песке. Исследуем вначале более простой случай — упаковки одинаковых кру- гов на плоскости. Плотной упаковки кругов можно достичь, вписывая их в мозаики, составленные из правильных многоугольников, заполняющих всю плоскость. Существуют только три способа построения таких мозаик — из правильных треугольников, квадратов и правильных шестиугольников. Упаковки кругов с использованием квадратной и шестиугольной мозаик показаны на рис. 18.1. Даже «на глаз» видно, что второй способ (б) более экономичен. Точный расчет (вы вполне сможете провести его сами) пока- зывает, что в этом случае кругами заполнено 90,7 % плоскости, в то время как в первом случае (а) — только около 78 %. Шестиугольный способ упаковки на плоскости — самый плотный. По-видимому, из-за этого его и используют пчелы при построении сот. Плотную упаковку шаров в пространстве можно осуществить следу- ющим образом. Расположим на плоскости первый слой шаров уже из- вестным нам наиболее плотным способом. Затем можно положить на них второй точно такой же слой. Если располагать каждый шар верхнего слоя в точности над нижним, так что все шары окажутся вписанными в кубиче- ские соты, то слишком много пространства окажется неиспользованным. При таком способе укладки шаров заполняется только 52 % пространства. Ясно, как можно упаковать шары плотнее. Для этого верхний шар надо располагать в лунке, образованной тремя соседними нижними шарами. Но при этом верхние шары не смогут заполнить все лунки — одно из двух соседних углублений всегда остается свободным (рис. 18.2). Поэтому, когда мы укладываем третий слой шаров, сделать это можно будет двумя способами: либо расположить шары третьего слоя над теми углублениями 'В принципе, пространство можно заполнить шарами, радиусы которых r(, rg,... обра- зуют стремящуюся к нулю последовательность: Пт„_юо гп = 0. Правда, с физической точки зрения это не представляет интереса. (Прим. ред.) 154 Глава 18. Следы на песке ? \ s S / 4 > > ? 4 J s ч r > J Рис. 18.1: Упаковка равных кругов на плоскости в ячейки правильных мозаик. в первом слое, которые шары второго слоя оставили свободными (центр одного из шаров на рис. 18.2, б будет находиться в точке А), либо — как раз над шарами первого слоя (при этом центр одного из шаров третьего слоя окажется в точке В). Для последующих слоев порядок расположения шаров сохраняется. В результате получаем два способа плотной упаковки шаров, показанные в пространстве на рис. 18.3. В обоих случаях шарами заполнено около 74 % пространства. Легко подсчитать, что при таком способе упаковки каждый шар со- прикасается с 12 соседними шарами. Точки соприкосновения образуют вершины четырнадцатигранника1. Его грани — чередующиеся квадраты и равносторонние треугольники. Так, при втором способе плотной упаковки (рис. 18.3, б) получается кубоктаэдр2, показанный на рис. 18.4. До сих пор мы рассматривали лишь такие способы упаковки шаров, при которых они вписываются в периодические «соты»3. А можно ли достичь плотной упаковки, отказавшись от этого условия? Один из спо- собов показан на рис. 18.5. Шары в каждой плоскости расположены по сторонам правильных пятиугольников (пентагонов). В каждом пентаго- 1 Греческое слово теттаракаидекаэдр (теттаракас5екае5рои), как правило, не ис- пользуют (Прим. ред.). 2Кубоктаэдр относится к так называемым Архимедовым телам. Этот класс включает 13 выпуклых многогранников с конгруэнтными вершинами, поверхности которых образованы правильными многоугольниками двух типов. Название кубоктаэдр принадлежит И. Кеплеру (см. стр. 159). Упаковка, изображенная на рис. 18.3, б не связана с Архимедовыми телами, поскольку она порождает вершины двух разных типов. (Прим. ред.) 3Иными словами, центры шаров образуют периодическую решетку. (Прим. рев.) 155 Рис. 18.2: Плотная упаковка шаров в пространстве (штрихами показан нижний слой.) не соседние шары касаются друг друга, но шары, относящиеся к разным пентагонам одной плоскости разделены в пространстве. Стороны пентаго- нов чередующихся слоев попеременно содержат четное и нечетное число шаров. Коэффициент заполнения пространства в такой структуре равен 72 % и лишь немного уступает случаю плотной упаковки, показанному на рис. 18.2. Можно упаковывать шары, не образуя из центров решетку, более плотно, достигнув коэффициента заполнения 74 %, однако суще- ствуют ли еще более плотные упаковки — этот вопрос остается открытым до сих пор. Вернемся к следам на песке. Мы теперь знаем, что существуют особые упаковки шаров, при которых остается очень мало пустого пространства между ними. Если нарушить такое расположение, выведя, например, шары одного слоя из лунок другого слоя, то промежутки между шарами увели- чатся. Ясно, однако, что песчинки никто не упаковывает специальным образом. Как же достичь плотной упаковки песчинок? Вспомним житейский опыт. Вам надо заполнить сосуд крупой так, чтобы в него вместилось максимальное ее количество. Что вы при этом делаете? Потряхиваете сосуд или постукиваете по нему, добиваясь жела- емого эффекта. Даже после плотной утрамбовки крупы в сосуде можно с помощью такого приема уместить еще какое-то дополнительное ее коли- чество. Научное исследование этого вопроса предпринял в 50-х годах англий- ский ученый Г. Скотт. Он заполнял шариками от подшипников сферические 156 Глава 18. Следы на песке Рис. 18.3: Пространственная картина, показывающая два способа плотной упаковки шаров. Рис. 18.4: Кубоктаэдр Кеплера. бутылки разных размеров. Если заполнять бутылки без потряхивания так, чтобы шарики располагались случайным образом, экспериментально на- блюдается следующая зависимость плотности упаковки от числа шариков: р\ = О,6 - 0,37/VN, где N — полное число шариков. Если число шариков очень велико (а в опытах N достигало нескольких тысяч), то видно, что плотность упа- ковки стремится стать постоянной и соответствующей заполнению 60 % пространства. А вот если потряхивать бутылку по мере ее заполнения, плотность упаковки возрастает: = 0,64 - 0, 157 Рис. 18.5: Пентагональная упаковка шаров. Правда, и в этом случае она получается гораздо меньшей 74 %, соответ- ствующих регулярному расположению шариков. Стоит задуматься над приведенными здесь экспериментами. Почему поправка обратно пропорциональна -\/УУ? Шарики, расположенные у сте- нок сосуда, находятся в особом положении по сравнению с шариками в объеме и влияют па плотность упаковки. Величина их вклада пропорцио- нальна отношению площади поверхности (~ R2) к объему сосуда (~ /?3) и убывает обратно пропорционально размеру системы ®. Под объемом си- стемы мы понимаем полный объем пространства, занимаемого шариками вместе со свободными промежутками. Размер R ~~\/~N, так как объем си- стемы пропорционален полному числу шариков. Такие зависимости часто возникают в физике, когда надо учитывать поверхностные эффекты. Таким образом, точные эксперименты подтверждают житейский опыт и показывают, что, потряхивая зернистую среду, можно достичь большей плотности упаковки. Но почему же все-таки это происходит? Дело в том, что устойчивому положению равновесия всегда соответствует минимум по- тенциальной энергии. Шарик может устойчиво лежать в ложбинке, но с вершины горки он обязательно скатится. Нечто подобное происходит и здесь. Шарики при потряхивании скатываются в свободные промежутки, плотность упаковки увеличивается, а общий объем системы уменьшается. В результате понижается уровень заполнения сосуда шариками, а следо- вательно, опускается центр масс и уменьшается потенциальная энергия системы. Теперь, наконец, можно с достаточной ясностью представить себе, что происходит с песком. Движение воды встряхивает песок, и в результате достигается плотная упаковка песчинок. Сдавливая песок ногой, мы на- 158 Глава 18. Следы на песке рушаем эту упаковку и увеличиваем размер пор1. Вода из верхних слоев песка уходит вглубь, заполняя эти увеличившиеся промежутки. В резуль- тате песок «высыхает». Когда ногу убирают, деформация исчезает, плот- ная упаковка восстанавливается, а вытесненная из вновь уменьшившихся промежутков вода заполняет след, оставленный ногой. Может случиться и так, что после сильного нажатия плотная упаковка не восстанавливается. Тогда след станет снова мокрым, лишь когда вода поднимется из нижних слоев и заполнит увеличившиеся поры. Любопытно, что это свойство сыпучих сред знали еще индийские фа- киры. Один из трюков состоял в том, что в сосуд с узким горлышком, доверху наполненный рисом, многократно втыкали длинный узкий нож. В какой-то момент нож застревал в рисе, и можно было, потянув нож, поднять сосуд с рисом. Очевидно, секрет состоял в том, что при втыкании ножа упаковка рисовых зерен уплотнялась так же, как при встряхивании. Этот процесс можно представить себе, как распространение в рыхлой среде своего рода волны сжатия. Вначале рис уплотнялся непосредственно вблизи от лез- вия, а в объеме и рядом со стенками по-прежнему лежал относительно свободно. Граница раздела рыхлой и плотной укладок играла роль (до- вольно пологого) «фронта волны». С каждым новым ударом клинка фронт расширялся и наконец достигал стенок, то есть весь рис в сосуде оказы- вался плотно упакован. В этот момент свойства сыпучей среды коренным образом менялись: рис становился «несжимаемым», дальше уплотнять было некуда. Вот тут-то кинжал и застревал, ибо резко-возрастали силы, сдавливающие рисинки. Вследствие этого трение между ними и лезвием повышалось и оказывалось достаточным, чтобы помешать вытянуть его из риса. /Т\ Если вы решите развлечь подобным фокусом своих гостей, то во избежание неожиданностей не стоит насыпать рис в стеклянную колбу или фарфоровую вазу.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Плотная упаковка шаров» з дисципліни «Дивовижна фізика»
