Уже на верхнем участке пути, встречая удары встречных молекул воздуха, метеороид начинает разогреваться. Тепло, получаемое от ударяющих молекул, идет на нагрев тела и на излучение в окружающее пространство. Рассмотрим вначале нагрев очень малых частиц. Теория их нагрева была разработана в 1950—1951 гг. Ф. Уипплом [490], а затем развита Б. Ю. Левиным [147], Э. Эпиком [428], Дж. Джонсом и Т. Кайзером [356]. Если метеороид достаточно мал, чтобы прогреваться насквозь (во всей массе) и имеет сферическую форму, то уравнение теплового баланса в расчете на единицу поверхности метеороида на этом этапе имеет вид [35В, 490] ^ = 4вав(П- П) -г 4-Л6с*-ТГ- <8Л> Здесь слева — тепловой поток, получаемый единицей поверхности миделя от набегающих .молекул (ввиду отсутствия загораживания на верхнем участке можно принять А = ае), справа первый член выражает расход энергии на излучение, второй — на нагрев метеороида. В (8.1) б — коэффициент излучения; о5 — постоянная Стефана — Больцмана; Tw, Та — температура поверхности метеороида и окружающей среды; Гср, /?, б, с —средняя температура, радиус, плотность и теплоемкость метеороида соответственно. Поскольку во второй член входит Д, можно полагать, что для достаточно малых тел второй член настолько мал, что основной расход тепла идет на излучение. Пусть это верно для тел с радиусами, меньшими Дс. Пренебрегая вторым членом, мы можем найти то значение р, при ко- § 8. НАГРЕВ МЕТЕОРОИДА НА ВЕРХНЕМ УЧАСТКЕ ПУТИ 75 тором тело достигнет температуры плавления Тпл. Обозначим эту величину через pi: Pi = —з \Г"л — [«)~ Л з • (Ь.2) Av Av Полагая Л«1, е « 1, Г„л = 2100 К [428J, os = 5,(37 X X 10~5 эрг • град-4 см~2 • с"1, получим pi = 8,8 • Ю9 у~3, причем эта величина для R<RC не зависит от R. Допустим теперь, что R>RC и первый член мал по сравнению со вторым. Тогда (8.1) можно переписать так (полагая тело вес еще настолько малым, что Гср « TJ): vdt^*BidTu. (8.3) 6 Av Интегрируя уравнение (8.3), заменив в не*м предварительно dt на u~l sec z dh, получим новое выражение для плотности воздуха, при которой тело достигнет точки плавления: ^2 3Ai>3//* В отличие от pi, р«2 прямо пропорционально Я. Найдем теперь граничное значение Rr из условия, что для него Pi =р2: 3eosH* Подставляя те же числа, что и при вычислении pi, а также Та = 200 К, Н* = 7 • 105 см, cos z = 1, & = 3 г/см3, с = 107 эрг/г-град (каменное тело), найдем величину рг = = 2,9-105 Rv~2, Дс = 4 104 у-1 (для железных тел р2 = = 5,4 • 105 Дг;-2, Дс = 2,2 • 104 v~x). Для различных значений скорости величины pi и Rc приведены в табл. 3. Таким образом, Rc ~ 10~2 см (100 мкм). Подсчитаем теперь значение граничного радиуса микрометеорои- дов, т. е. таких частиц, которые успевают затормозиться, не достигнув температуры плавления. Для этих тел можно положить М = const и решать одно уравнение (3.1) с постоянной массой. Его решение, как нетрудно убедиться, имеет вид ( ЗГ//*р \ /Q п. 76 ГЛ. II. НАГРЕВ И НАЧАЛО ИСПАРЕНИЯ МЕТЕОРОИДОВ Поскольку для микрометеороидов заведомо R < Дс, мы можем подставить скорость из (8.6) в (8.2), и, полагая по-прежнему Га^С^пл, найдем плотность на уровне начала плавления тормозящейся частицы: 8eosT*u4 ( 9Г//*Р3 \ / 9ГЯ*р \ рз = -j-r- ехР (тягл) =р1 ехр (tmsn) (8.7) Это уравнение трансцендентно относительно рз и решается методом последовательных приближений. Однако Таблица 3. Характерные размеры метеороидов | ТипТметео- роидов Каменные Железные V, км/с 15 30 60 15 30 60 R , см т 3,3-10"3 4,6-10"4 5,8-10"6 1,2-10"3 1,7.10-* 2,2-10"5 R , см с 2,7-10-я 1,7.10-2 6,7-Ю-3 1,5-Ю-2 7,0-10"3 3,7-10"3 Д., см г 0,20 0,14 0,10 0,54 0,38 0,27 plt Г/СМ3 2,6-Ю-9 3,3-Ю"10 4, МО"11 при малых R оно становится неразрешимым. Это означает, что температура данных тел не достигает точки плавления. Максимальная температура, которой достигает микро- метеороид, находится путем дифференцирования (8.7) но р или по h и приравнивания производной нулю. Мы получаем сначала плотность на уровне, где достигается максимальная температура, Р4 = 4Л6 соя z 9Г#* ' (8.8) а затем, подставляя р4 в (8.7) вместо рз и заменяя соот ветственно Гпл на ТтдЛ, получаем /ARbv^cosz^1'* Ттах = [ 18ев S&TH* (8.9) поскольку экспонента в (8.7) при подстановке в нее р4 превращается в основание натуральных логарифмов е. Наконец, приравнивая * max в *• пл» найдем предельный § 8. НАГРЕВ МЕТЕОРОИДА НА ВЕРХНЕМ УЧАСТКЕ ПУТИ 77 радиус микрометеороидов Rm: Rm = _JL EL. (8.Ю) 18eoszYH*TL Полагая по-прежнему Г = Л = е = 1, cos z = 1, Г1ТЛ = = 2100 К, Я* = 7 • 105 см и подставляя о5, найдем для каменных метеороидов /?т = 1,25-10 у~ и для железных Rm = 1,47 «10le vZz. Значения Rm для у*, = 15; 30 и 60 км/с также приведены в табл. 3. Мы видим, что они на 1—2 порядка меньше Rc и измеряются микрометрами и десятками микрометров, а для больших скоростей — даже долями микрометра. Именно такие частицы могут служить ядрами конденсации при образовании серебристых облаков [47]. Таким образом, самые мелкие частицы (микрометео- роиды — класс тел, выделенный в 1950 г. Ф. Уипплом) тормозятся быстрее, чем могут нагреться до начала стадии плавления, а тем более испарения. Для них R<Rm. Следующий класс частиц («мелкие» метеороиды), у которых Rm<R< Дс, достигают точки плавления и начинают терять массу, сначала за счет плавления и уноса расплава, а потом за счет испарения. На стадии сильного нагрева отдача тепла излучением играет главную роль в ограничении роста температуры этих частиц. Более крупные частицы (назовем их «средними») с R> Rc большую часть получаемого тепла расходуют уже не на излучение, а на нагревание, причем прогреваются насквозь. Верхняя граница радиусов этих частиц (обозначим ее через Д») была оценена Б. Ю. Левиным в 0,1 см для каменных тел и в 0,3 см для железных [147]. Метод определения Ri мы дадим ниже. Рассмотрим теперь нагревание «крупных» метеороидов, у которых R>R{. Эти тела не прогреваются насквозь, и для них нельзя полагать Гср = Tw. Задача о нагреве тел этого класса требует решения уравнения теплопроводности при переменном притоке .тепла. При решении этой задачи большое значение имеют предположения о форме тела, его ориентации, наличии или отсутствии вращения. Еще в, 1939 г. B,-.JQ. Левин [145] решил эту задачу для подуограциченного цидиндра о плоским торцом, летящего .торцом вперед и теплоизоли- 78 ГЛ. II. НАГРЕВ И НАЧАЛО ИСПАРЕНИЯ МЕТЕОРОИДОВ рованного с боковой поверхности. Пусть поток тепла через торец W(t) в соответствии с (3.2) равен W(t) = ехр -tl (8.11) 2 —*-\ н* <у В этом случае решается одномерное уравнение теплопроводности ii-б» i = o dt dt' при начальном и граничном условиях т (д\ — оо) =г. 0; (■ где е*г W(t) б2- 6с (8.12) (8.13) (8.1; (8.15) Решение уравнения (8.12) с учетом (8.13)- (8.15) имеет вид (переменную t заменяем на р) т (х, р) — 1 (0, р) е г (0, р) = НМРК_ л., (8.16 (8.17) причем величина #0, которую принято называть глубиной прогрева, равна х = ъ ]/ И* . (8.18) * V„ COS 2 х ' оо Для цилиндра конечной длины I решение было получено Е А. Любимовой [147] в виде *i (*> Р) = t (0, р) е *'*0 Ti(0,p) = i(0,p) 1 -cth i]' I sh— Jo J (8.19) (8.20) где величины с ийдексом «1» относятся к цйлийдру конечной длины, а величины без индекса — к полуограйи- ченному цилиндру, рассмотренному выше. Поправочные § 8. НАГРЕВ МЕТЕОРОИДА НА ВЕРХНЕМ УЧАСТКЕ ПУТИ 79 множители в скобках ненамного больше единицы: так, множитель в формуле (8.20) при 1 = х0 равен 1,31, а при 1=2х0 он равен 1,02. Температура тыловой поверхности при этих условиях соответственно в 2 и 3,5 раза меньше, чем лобовой поверхности [147]. Глубина прогрева хо при скоростях метеороида 15— 60 км/с для каменных тел составляет 0,05—0,03 см, для железных 0,17 — 0,09 см. Для рыхлых каменных тел, подобных по своим свойствам сухому песку или минеральному порошку, Хо составляет 0,03—0,01 см. Эти подсчеты были сделаны Б. Ю. Левиным на основании принятых им значений теплофизических свойств метеороидов (табл. 4),. Таблица 4. Теплофизические свойства метеороидов Тип метеороидов Каменные Рыхлые каменные Железные 6, г/см8 3,5 1,0 7,6 А,, эрг/смс- •град 3-Ю5 2-104 3.10е с, эрг/г- •град 107 107 7-10е -1/2 Ь, емс 0,093 0,045 0,250 Для быстро и беспорядочно вращающейся сферы решение было получено в 1961 г. 3. Цеплехой и В. Паде- ветом [285] и обобщено в 1966 г. В. Н. Лебединцом и Ю. И. Портнягиным [1391. Мы приводим результат в форме, в которой он дан в работе [139], как более удобной. На этот раз уравнение теплопроводности записывается в сферических координатах (г0 — радиус тела): £-b2($+-f£b°' (8-2i) при следующих начальном и граничных условиях: '<r.-i>-o. (■£)_-о. (£)„,„=-^- <822) Распределение температуры вдоль радиуса тела дается выражением T(r,p) = T(r„p)-f —pt, (8.23) 80 ГЛ. II. НАГРЕВ И НАЧАЛО ИСПАРЕНИЯ МЕТЕ020ЙД0В а температура поверхности выражением Aov3 гл ч(г..Р)= , . -.' г- (8-24) -it"1^-') Сравнение (8.24) с (8.17) показывает, что отношение температур лобового торца полубесконечного цилиндра и поверхности быстро вращающейся сферы равно При го = #о это отношение равно 1,24; при го = Ах0 оно равно 3, а с дальнейшим ростом величины Го/xq стремится к 4. Если сравнивать сферу с цилиндром конечной длины I = 2го, то картина будет почти такой же. На основании теории теплопроводности можно оцепить значение критического радиуса Д, при превышении которого нужно учитывать падение температуры с глубиной. Для этого надо приравнять друг другу характерное время переноса тепла теплопроводностью tT и характерное время нагрева потоком тепла от набегающих молекул to. Оба времени определим как интервалы, за которые температура под действием соответствующего механизма повышается в е раз. Тогда [139] Приравнивая их друг другу, получаем Д» = л#о- Б. Ю. Левин принимал, что аналогичное условие для цилиндра выполняется при I > 2#о, что мало отличается от условия для сферы. В 1966 г. независимо В. Н. Лебединец и Ю. И. Порт- нягин [139] и Дж. Джонс и Т. Р. Кайзер [356] рассмотрели эту проблему в другой постановке: скорость испарения нарастает не постепенно, а скачком, как только тело достигает некоторой высоты, значение которой можно получить из приведенных выше формул (этот вопрос будет рассмотрен в § 9). В 1974 г. В. Г. Кручиненко и А. Н. Шайдо [130] получили решение задачи о прогреве метеороидов в предположении, что и прогрев начинается не с «бесконечности», § 8, НАГЛЕВ МЕФЕСФОЙДА ЙА ВЕРХНЕМ УЧАСТКЕ ПУТИ 81 200 }км 150 100 i \ ""'^ --Г "—m===L^=rl'5~30 1 1 J i 200 \ 1000 2000 ЪК h,KM 150 WO О WOO 2000 IK Рис, 17. Нагревание метеороидов разных размеров и состава при их входе в атмосферу с различными скоростями (по Левину): «верху — крупные тела (R = 1 см; сплошная линия — плотный каменный, прерывистая —- рыхлый каменный, штрих-пунктир — железный метеороид), внизу — мелкие тела. g9 ГЛ. II. НАГРЕВ И НАЧАЛО ИСПАРЕНИЯ МЕТЕОРОИДОВ а с некоторой конечной высоты h0, определяемой из условия, что на этой высоте температура поверхности равна 2Го, где Г0 = 280 К — равновесная температура черного тела на расстоянии 1 а. е. от Солнца (впрочем, выбор h0 не является принципиальным и может быть сделан, исходя из других соображений). Постановка задачи в работе В. Г. Кручиненко и Л. Н. Шайдо имеет смысл для изучения нагрева осколков, отделившихся от главного тела на некоторой высоте (эта высота и будет /г0), особенно таких, которые раньше находились во внутренних частях метеороида, а также для анализа иагревания искусственных метеоров и космических аппаратов, входящих в плотные слои атмосферы с конечной высоты. Практически всегда расчеты нагревания начинают с некоторой высоты (например, с h0 = 180 км, как в [147]), где нагрев еще мал, и количеством тепла, полученным выше А0, можно пренебречь. Действительно, как показывают расчеты, выше 180 км метеороид, летящий даже со скоростью 60 км/с, может нагреться на доли градуса, что совершенно несущественно для дальнейшего анализа*). На рис. 17 мы приводим результаты расчетов нагрева метеороидов различных размеров и состава при движении их вертикально вниз со скоростями 15, 30 и 60 км/с по данным работы [147].
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Нагрев метеороида на верхнем участке пути» з дисципліни «Фізика метеоритних явищ»
