Статистические исследования формы корреляционной связи. Линия регрессии и уравнение регрессии
Как указывалось в параграфе 3, график корреляционной связи, построенный по групповым средним называется эмпирической линией связи (или эмпирической линией регрессии). Изломы эмпирической линии регрессии (т.е. ломаной, последовательно соединяющей точки с групповыми средними), как правило, обусловлены тем, что на результативный признак оказывают влияние кроме рассматриваемого факторного признака х и другие факторы. Во многих случаях внешний вид эмпирической линии регрессии позволяет зрительно установить теоретическую форму зависимости у от х. Даже и в этом случае главной в обосновании формы теоретической линии регрессии должна быть теория изучаемого явления и рассматриваемых признаков. Именно сущность (теория) явления с учетом природы изучаемых признаков должна служить основой для выбора формы взаимосвязи между данными признаками. Здесь теоретической линией регрессии называется та линия, которая указывает основное направление (тенденцию) связи между рассматриваемыми признаками в «чистом виде», т.е. изменение средних величин результативного признака у в зависимости от изменения величины факторного признака х при условии полного взаимопогащения всех прочих причин. Логически теоретическая линия регрессии должна быть расположена на поле графика так, чтобы сумма отклонений эмпирических точек (точек поля корреляции) от точек теоретической линии регрессии равнялась нулю, а сумма квадратов этих отклонений была бы минимальной по величине. Формы уравнения связи может определяться также с использованием опыта предыдущих исследований, когда были получены приемлемые результаты количественного выражения направления изучаемой связи. Даже при использовании теоретического анализа и опыта предыдущих статистических исследований данной корреляционной связи не следует отказываться от такого подхода к изучению корреляционной связи как использование конкурирующих вариантов модели регрессии и сопоставление различных уравнений связи. Наиболее часто для характеристики связей экономических показателей используют следующие типы функций:
Для нахождения параметров а, b, c и т.д. для сложных моделей, как правило, используется метод наименьших квадратов. Критерий метода наименьших квадратов можно записать следующим образом:
.
Рассмотрим основные положения теории регрессии применительно к теоретической линии регрессии, представленной уравнением прямой
.
Для уравнения прямой метод наименьших квадратов записывается таким образом: . Определение параметров a и b прямой, наиболее соответствующей эмпирическим данным, сводится к математической задаче на экстремум. Функция двух переменных S (a, b) может достигнуть экстремума в том случае, когда первые частные производные этой функции равняются нулю, т.е.
и .
Несложные преобразования этих частных производных приводит к системе нормальных уравнений для определения параметров модели регрессии. Для уравнения прямолинейной корреляционной связи получается следующая система нормальных уравнений:
.
Обычно данная система решается относительно параметра b, которое приводит к следующей формуле для определения этого параметра:
.
Если разделить обе части (левую и правую) первого уравнения на n, можно получить формулу для определения параметра a:
.
Как видели из предыдущего материала данной темы, специфика корреляционных связей требует построения многофакторных моделей уравнений множественной регрессии. При предположении наличия прямолинейной связи результативного признака от изменения двух факторов уравнение множественной корреляции может быть представлено в следующем виде
.
По способу наименьших квадратов для расчета параметров a, b, c необходимо решить следующую систему нормальных уравнений:
.
Параметры b, с и т.д. характеризуют изменение результативного признака при увеличении соответствующего фактора на единицу и фиксированном (среднем) значении других факторов. Вместо параметров a, b, c, … обычно используются параметры Например, допустим, что в качестве уравнения регрессии выбирается парабола второго порядка. Тогда она может быть записана в виде
.
По способу наименьших квадратов параметры уравнения будут находиться путем решения следующей системы нормальных уравнений:
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Статистические исследования формы корреляционной связи. Линия регрессии и уравнение регрессии» з дисципліни «Статистика»
