Как видели из предыдущих параграфов, в зависимости от задач исследования в выборках может быть включено различное количество единиц изучаемой совокупности. Если n>100, то выборочное наблюдение считается со сравнительной большим объёмом выборки. А если n<100 , то стат. Обследование принято называть малой выборкой. Под малой выборкой понимается стат. обследование , при котором выборочная совокупность образуется из сравнительно небольшого числа единиц генеральной совокупности. Объём малой выборки обычно не превышает 30 единиц и может доходить до 4-5 единиц На практике к малой выборке прибегают, когда бывшая выборка нецелесообразна (например, если проведение исследования связано с уничтожением или порчей обследуемых образцов) или невозможна (при экспресс-обследование) Из-за небольшого объема выборки величина ошибки малой выборки определяется по спец. Формуле
,
где дисперсия малой выборки. Вспомним соотношение между дисперсиями в ген. совокупности ( ) и выборочной совокупности ( ):
. В малой выборке имеет существенное значение, то вычисление дисперсии малой выборки производится с учётом так называемого числа степеней свободы. Под числом степеней свободы понимается количество вариантов, которые могут принимать произвольные значения , не меняя величины средней. При определении дисперсии числа степеней свободы равно (n-1)
.
Предельная ошибка малой выборки (ЦЦЦ) определяется по формуле
.
При этом значение коэффициента доверия (t) зависит не только от заданной доверительной вероятности , но и от численности малой выборки (n). Для этих целей исп. специальная таблица (таблицы Стьюдента). В этих таблицах даны распределения стандартизованных отклонений
.
Таблица Стьюдента приводится в учебниках по математической статистике или сборниках специальных математических таблиц. Приведём фрагмент этой таблицы
k=n-1 t 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0 1 5 7 9 15 19 0,347 0,362 0,368 0,371 0,376 0,377 0,609 0,637 0,649 0,657 0,667 0,670 0,769 0,806 0,823 0,832 0,846 0,850 0,861 0,898 0,914 0,923 0,936 0,940 0,942 0,970 0,980 0,983 0,991 0,993 Как видно из этих таблиц, что при увеличении объёма выборки распределение Стьюдента приближается к нормальному и уже при n=20 оно мало отличается от нормально распределения. Отсюда же видно , что чем меньше объём выборки, тем больше это различие и например , при n=4 это различие весьма существенно . Следовательно уменьшается точность результатов малой выборки. Пример. Допустим отобрано 10 рабочих для определения времени выполнения ими определённой операции. Среднее время у них оказалось равным 10,4 мин и дисперсия выборки 4 . Примем доверительную вероятность р= 0,984.
Малая выборка Оздоровительный центр рекламируя свои услуги , предлагает за короткий срок снижение веса . По результатам выборочного обследования 15 женщин , воспользовавшихся услугами центра , были получены следующие данные о снижении их веса.
Необходимо проверить обоснованность таких реклам с вероятностью 0,99 (t=2.977). Решение: 1) находим выборочное среднее
2) выборочная дисперсия составляет
3) средняя квадратическая ошибка выборки равна
4) находим предельную ошибку
Отсюда снижение веса пациентов оздоровительного центра будет находиться в пределах . Или от 4,23 до 8,59 кг. Следовательно, указанное в рекламе снижение веса на 10 кг имеет весьма малую вероятность и даже событие практически не возможное.
Вывод формулы разложения общего прироста выпуска продукции по трудовым факторам. Из зависимости показателей .
