Основные показатели вариации. Свойства дисперсии, методы ее расчета
Большинство показателей вариации (колеблемости, рассеивания) исчисляется на основе отклонений признака у отдельных единиц совокупности от средней арифметической, т.к. средняя арифметическая является обобщающей характеристикой свойств ряда (совокупности). Более объективно меру вариации признака отражает показатель дисперсии (или средний квадрат отклонений). Поэтому на практике наиболее часто используется для характеристики меры вариации этот показатель или показатель, базирующийся на дисперсии (среднее квадратическое отношение, коэффициент вариации). Поэтому условно назовем эту группу показателей вариации как группу основных показателей вариации. Дисперсия (и соответственно ) используется при организации выборочного наблюдения, при оценке полученных на основе выборки статистических показателей. (Об этом подробно будем говорить в теме “Выборочное наблюдение”). Дисперсия может использоваться для построения показателей тесноты корреляционной связи, анализа влияния различных факторов (сложение дисперсий). Дисперсия (средний квадрат отклонений) исчисляется средняя из отклонений, возведенных в квадрат:
или .
Итак, чтобы вычислить дисперсию нужно проделать следующие операции: найти отклонения каждой варианты ряда от средней арифметической ; возвести эти отклонения в квадрат; умножить квадрат отклонения на соответствующую частоту и суммировать; полученную сумму нужно разделить на сумму частот . Дисперсия (средний квадрат отклонений) имеет ряд математических свойств (доказываемых в математической статистике), которые позволяют упростить технику ее расчета; если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений от этого не изменится:
; если все значения вариант умножить или разделить на какое-то постоянное число А, то дисперсия увеличится или уменьшится от этого в раз:
или .
Другими словами, постоянный множитель вариант выносится за знак дисперсии возведенным в квадрат; если исчислить дисперсию от любой величины признака, которая в той или ной степени отличается от средней арифметической , то он всегда будет больше дисперсии, исчисленной от средней арифметической:
.
Это свойство носит название свойство минимальности. При этом больше на определенную величины – на квадрат разности между средней и этой условно взятой величиной:
.
Использование указанных свойств дисперсии позволяет упростить ее расчет, особенно в тех случаях, когда вариационный ряд составляет арифметическую прогрессию или имеет равные интервалы. Например, пусть . Тогда по 3-му свойству имеем:
.
Отсюда: средний квадрат отклонений равен среднему квадрату индивидуальных значений признака минус квадрат среднего значения признака. Изложенный способ расчета дисперсии называется способом моментов или способом отсчета от условного нуля. Пример. Расчет среднего уровня и способом моментов. Вес урожая, 2 см2 Варианты X Число участков (частоты f) Условные отклонения Xf X²f 90-100 95 2 -4 -8 32 100-110 105 5 -3 -15 45 110-120 115 13 -2 -26 52 120-130 125 17 -1 -17 17 130-140 135= 18 0 0 0 140-150 145 31 1 31 31 150-160 155 22 2 44 88 160-170 165 5 4 20 80 170-180 175 5 4 20 80 Сумма - 125 0 65 453
Среднее арифметическое г/м2 . Средний квадрат отклонений (дисперсия) . Корень квадратный из дисперсии (среднего квадрата отклонения) представляет собой наиболее широко применяемый в статистических исследованиях показатель вариации – среднее квадратическое отклонение (иногда называют стандартное отклонение).
.
Среднее квадратическое отношение является мерилом надежности средней. Чем меньше , чем лучше среднее арифметическое отражает собой всю изучаемую совокупность. В приведенном примере г/м2. Среднее квадратическое отклонение всегда выражается в тех именованных числах, в которых выражена и средняя. Оно дает абсолютную меру вариации. Исходя из сказанного, по своему абсолютному значению среднее квадратическое отклонение ( ) зависит не только от степени вариации признака, но и от абсолютных уровней (или значений) вариаций и средней. Поэтому сравнивать средние квадратические отклонения вариационных рядов с разными уровнями непосредственно нельзя. Для этих целей исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы совокупности одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Для этой цели в статистических исследованиях широко применяется коэффициент вариации, т.к. средняя величина ( ) отражает тенденцию развития (т.е. действие главных факторов), а среднеквадратическое отклонение ( ) дает обобщенную характеристику колеблемости всех вариантов совокупности (измеряет силу воздействия прочих факторов). Итак, коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин. При этом считается, что если ν больше 40%, то имеет место большая колеблемость изучаемого признака. В нашем примере: . Дисперсию и среднюю альтернативного признака можно определить по формулам:
и ,
где p – доля единиц, обладающих признаком; g - доля единиц, не обладающих признаком; притом p+g=1, g=1-p. Среднеквадратическое отклонение
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Основные показатели вариации. Свойства дисперсии, методы ее расчета» з дисципліни «Статистика»
